初中数学竞赛辅导资料
二元一次方程组解的讨论
甲内容提要1．二元一次方程组
a1xb1yc1a2xb2yc2
c1c2c1c2
的解的情况有以下三种：
①当
a1a2a1a2a1a2

b1b2b1b2b1b2
时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
②当


时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）
③当

（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
c1b2c2b1xa1b2a2b1yc2a1c1a2a1b2a2b1
（这个解可用加减消元法求得）
2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）乙例题例1选择一组ac值使方程组
5xy7ax2yc
①有无数多解，②无解，③有唯一的解解：①当5∶a1∶27∶c时，方程组有无数多解解比例得a10c14。②当5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。解得a10c≠14。③当5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。例2a取什么值时，方程组
xya5x3y31
的解是正数？
解：把a作为已知数，解这个方程组
f得
313ax25a31y2
∵
x0y0
313a02∴5a3102
解不等式组得
31a3a315
15
解集是6
15
a10
13
答：当a的取值为6
a10
13
时，原方程组的解是正数。
例3
m取何整数值时，方程组
2xmy4x4y1
的解x和y都是整数？
8x1m8解：把m作为已知数，解方程组得2ym8
∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。解得m9，7，10，6。经检验m9，7，10，6时，方程组的解都是整数。例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？解：设桃，李，榄橄分别买xyz粒依题意得
xyz10011z10023x4y7
由（1）得x100－y－z3把（3）代入（2），整理得y－2003z－设
z7z7kk为整数
得z7ky－20020kx300－27k
100k9k10（k是r