，ta
A1FD115．DF2AB5
3
f所以二面角A1ABC的大小为arcta
15．解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz．由题设知A1D与z轴平形，z轴在平面AAC11C内．（1）设A，由题设有a2，A200，B010，1a0c
A1
z
C1
B1
C
B
则AB210，AC200，AA1a20c，
y
DAx
AC1ACAA1a40c，BA1a1c．
由AA12得
a2c2
2，即a24ac20．于是AC1BA1a24ac20，所以AC1A1B．
（2）设平面BCC1B1的法向量为mxyz，则mCB，mBB1，即mCB0，mBB10．因CB010，BB1AA1a20c，故y0，且a2xcz0．令xc，则z2a，
mc02a，点A到平面BCC1B1的距离为CAcosmCA
CAmm

2cc22a
2
c．
又依题设，A到平面BCC1B1的距离为3，所以c3．代入①解得a3（舍去）或a1．于是AA1103．设平面ABA1的法向量为
pqr，则
AA，
AB，即
AA，110



AB0，p3r0，且2pq0．令p3，则q23，r1，
又p001为平面ABC的法向量，故cos
p

3231．


p11．所以二面角A1ABC的大小为arccos．4
p4
（2014福建理数）17．（本小题满分12分）在平行四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD．将△ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD．（1）求证：ABCD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
A
M
B
C
解：（1）因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，
D
所以AB平面BCD．又CD平面BCD，所以ABCD．（2）过点B在平面BCD内作BEBD，如图．由（1）知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，所以ABBE，ABBD．以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
4
zA
M
BE
Dy
f依题意，得B
000，C110，D010，A001，M0，2211110，AD011．22
则BC110，BM
x0y00
BC0设平面MBC的法向量为
x0y0z0r