2014年全国各地高考试题分类汇编（理数）立体几何（解答题）
（2014安徽理数）20．（本小题满分13分）如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD．四
D三点的平面记为，BB1与的交点为Q．边形ABCD为梯形，ADBC，且AD2BC．过A1，C，
（1）证明：Q为BB1的中点；（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若A1A4，CD2，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角大小．
A1B1C1
D1
Q
A

D
B
（1）证明：因为BQAA1，BCAD，BC
C
BQB，AD
AA1A，所以平面QBC平面A1AD．
从而平面ACD与这两个平面的交线相互平行，即QCA1D．故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，1于是△QBC∽△A1AD．所以
BQBQBC1，即Q为BB1的中点．BB1AA1AD2
（2）如图1，连接QA，QD．设AA1h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BCa，
1112ahdahd，3231a2a11VQABCDdhahd，322473ahd，又VABCDABCDahd，所以V下VQAADVQABCD122
则AD2a，VQA1AD
11111
所以V上VABCDA1B1C1D1V下
V371111ahdahdahd，故下．21212V下7
AEA，
（3）解法一：如图1，在△ADC中，作AEDC，垂足为E，连接A1E．又DEAA1，且AA1
所以DE平面AEA1，于是DEA1E．所以AEA1为平面与底面ABCD所成二面角的平面角．因为BCAD，AD2BC，所以S△ADC2S△BCA．又因为梯形ABCD的面积为6，DC2，
1
f所以S△ADC4，AE4．于是ta
AEA1故平面与底面ABCD所成二面角的大小为
AA1π1，AEA1．AE4
π．4
解法二：如图2，以D为原点，DA，DD1的方向分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．设CDA．因为S四边形ABCD所以a
a2a2si
6，2
24．从而C2cos2si
0，A104，si
si

所以DC2cos2si
0，DA1
404．设平面A1DC的一个法向量为
xy1，si

4x40DA1
由，得xsi
，ycos，所以
si
cos1．si
DC
2xcos2ysi
0
又因为平面ABCD的一个法向量为m001，所以cos
m故平面与底面ABCD所成二面角的大小为

m2，
m2
π．4
（2014北京理数）17．（本小题14分）r