8分
kx－2（3）方法一：由题意知，1l
x－＞0对x∈2，＋∞恒成立，xx＋xl
x即k＜对x∈2，＋∞恒成立．x－2x＋xl
xx－2l
x－4令hx＝，则hx＝．x－2x－22x－2设vx＝x－2l
x－4，则vx＝．x当x∈2，＋∞时，vx＞0，所以vx在2，＋∞为增函数．因为v8＝8－2l
8－4＝4－2l
8＜0，v9＝5－2l
9＞0，所以存在x0∈8，9，vx0＝0，即x0－2l
x0－4＝0．当x∈2，x0时，hx＜0，hx单调递减，当x∈x0，＋∞时，hx＞0，hx单调递增．x0＋x0l
x0所以当x＝x0时，hx的最小值hx0＝．x0－2x0－4x0因为l
x0＝，所以hx0＝∈4，45．22故所求的整数k的最大值为4．方法二：由题意知，1l
x－16分
kx－2＞0对x∈2，＋∞恒成立．x
kx－2x－2kfx＝1l
x－，fx＝2．xx①当2k≤2，即k≤1时，fx＞0对x∈2，＋∞恒成立，所以fx在2，＋∞上单调递增．而f2＝1＋l
2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈2，2k时，f′x＜0，fx单调递减，当x∈2k，＋∞，f′x＞0，fx单调递增．所以当x＝2k时，fx有最小值f2k＝2＋l
2k－k．
f从而fx＞0在x∈2，＋∞恒成立，等价于2＋l
2k－k＞0．1－k令gk＝2＋l
2k－k，则gk＝＜0，从而gk在1，＋∞为减函数．k因为g4＝l
8－2＞0，g5＝l
10－3＜0，所以使2＋l
2k－k＜0成立的最大正整数k＝4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4．16分
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