2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．若集合A
xx2x120
，B


x

xx
11

0

，C


x
xA且xB，则集合C（
）
A．3，11，4
B．3，11，4
C．3，11，4
D．3，11，4
【答案】D
【解答】依题意，A
xx2x120

3，4
，
B


x

xx
11

0


1，1
。
由xA，知3x4；xB，知x1或x1。
所以，3x1或1x4，即C3，11，4。
2．已知直线l1：m2x3my10与直线l2：m2xm2y40（m0）相互垂直，垂足
为P，O为坐标原点，则线段OP的长为（）
A．5
B．2
C．3
D．2
【答案】D
【解答】由l1

l2
知，
m

2m

2

m

23m

0
，结合
m

0，得
m23m

0
，
m

12
。
∴
l1
方程为
52
x

32
y
1

0
，即
5x

3y

2

0
；
l2
方程为：

32
x

52
y

4

0
，即
3x

5y

8

0
。
由

5x3x
3y5y
28
00
，得

xy
1。因此，1
P1，1
，线段
OP
长为
2。
3．如图，在三棱锥PABC中，△PAB，△PBC均为等边三角形，且
P
ABBC。则二面角APCB的余弦值为（）
A．23
B．33
C．63
D．13
C
【答案】B
A
B
【解答】如图，取AC中点O，PC中点D，连结OP，OB，OD，DB。
不妨设AB2，则由条件知，PAPC2，AC22。
（第3题）
∴PAPC，OP1AC2OC。2
∴ODPC。又BDPC，故BDO是二面角APCB的平面角。
PD
在△BOD中，由OB2，OD1，BD3，
C
得BOD90，cosBDOOD13。BD33
O
A
B
1
f∴二面角APCB的余弦值为3。3
4．若函数
f
x


x22
2xlog
4，xax，x

3，（3，
a

0，且
a
1）的值域为3，
，则实数a
的取值范围为
（）A．1，3
B．1，3
C．3，
D．3，
【答案】A
【解答】∵x3时，函数fxx22x4x123的值域为3，，
∴x3时，2logax3，即x3时，logax1logaa。∴a1，且x3时，xa恒成立。
∴1a3，a的取值范围为1，3。
5．如图，在四面体PABC中，已知PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPC3。则在该
四面体表面上与点A距离为23的点形成的曲线段的总长度为（）
A．3
B．33
C．53
D．33
P
2
2
【答案】D【解答】如图，设AEAFAG23（E在AB上，F在PB上，G在PC上）。A
由PAPB，PAPC，PBPC，PAPBPC3，知PFPG3，
CB
PAF，EAF。
6
4612
（第5题）
∴在面PAB内与点A距离为23的点形成的曲线段（图中弧EF）长为
233。
12
6
同理，在面PAC内与点Ar