高考数学新题型选编（共70个题）
1、（Ⅰ）已知函数：fx2
1x
axa
x0
N求函数fx的最小值
（Ⅱ）证明a
b
ab
a0b0
N；
2
2
（Ⅲ）定理若a1a2a3
ak
均为正数则有a1
a2
a3
k
ak
a1a2a3k
其中k2kNk为常数．请你构造一个函数gx，证明：
ak
成立
当a1a2a3
ak
ak1
均为正数时，
a1


a2

a3
k1

a
k1
a1a2a3
k1
ak1
．
解：（Ⅰ）令fx2
1
x
1
ax
10得2x
1ax
12xaxxa…2分
当0xa时，2xxafx0故fx在0a上递减．
当xafx0故fx在a上递增．所以，当xa时，fx的最小值为fa0…4分
（Ⅱ）由b0，有fbfa0即fb2
1a
b
ab
0
故a
b
ab
a0b0
N．………………………………………5分
2
2
（Ⅲ）证明要证：a1
a2
a3


a
k1
a1a2a3
ak1

k1
k1
只要证：k1
1a1
a2
a3


a
k1


a1

a2

a3

ak1

设gxk1
1a1
a2
a3
x
a1a2a3x
…………………7分
则gxk1
1
x
1
a1a2akx
1
令gx0得xa1a2ak……………………………………………………8分k
当0xa1a2k
ak时，gx
kxx
1
a1a2
akx
1

a1a2akx
1
a1a2akx
10
故gx在0a1a2ak上递减，类似地可证gx在a1a2ak递增
k
k
所以当xa1a2ak时，gx的最小值为ga1a2ak………………10分
k
k
而ga1a2k
akk1
1a1
a2


ak



a1

a2
k
ak
a1a2

ak

a1

a2
k
ak


k
1
1k

k
a1


a2


ak
a1a2
ak
k1a1a2
ak


k
1
1k

k


a1


a2


ak
ka1a2

ak




k
1
1k
1
k

1
a1


a2


ak
a1a2
ak

由定理知k
1a1
a2

ak
a1a2
ak
0
故ga1a2k
ak0
ak1
0

gak1

g
a1

a2
k
ak0
故k1
1a1
a2
a3


a
k1


a1

a2

a3

ak1

即a1
a2
a3


a
k1
a1a2a3
ak1
…………………………14分
k1
k1
2、用类比推理的方法填表
等差数列a
中
等比数列b
中
fa3＝a2da3a4a2a5a1a2a3a4a55a3答案：b1b2b3b4b5b35
b3b2qb3b4b2b5
3、10．定义一种运算“”：对于自然数
满足以下运算性质：
（i）111，（ii）（
1）1
11，则
1等于
A．

B．
1
C．
1
D．
2
答案：D
4、若f
为
21
N的各位数字之和，如：1421197，19717，则f1417记f1
f
f2
ff1
fk1
ffk
kN则f20088____
答案：5
5、下面r