4acbd24a2b2c2d20
f22222即abcdacbd
此时要等号成立，那么fx有唯一零点，即有唯一实数x使
axc0abxbc0bxd0abxad0adbc0adbc
【证法三相比前两种方法复杂的多，我在此加入的目的是为了后面讲解一般形式的柯西不等式证明时，能先让同学们以此为基础自主探究试一试，也使同学们能更好的了解证明的思路，由简入繁、举一反三。】此不等式就是柯西不等式的最简形式，即二维形式的柯西不等式。定理1（二维形式的柯西不等式）若abcd都是实数，则
a2b2c2d2acbd2
当且仅当adbc时，等号成立。这就是二维柯西不等式的代数形式，而前面向量推导正好是柯西不等式的向量形式
urur定理2柯西不等式的向量形式设是两个向量，则ururur当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立。
22222注：“二维”指的是abcdacbd与二维向量相对
urururur
应，所以称之为二维形式的柯西不等式。二维形式的柯西不等式的变形式abcdacbd
2222
a2b2c2d2acbd
当且仅当adbc时，等号成立。
f【探究】在平面直角坐标系中，设P1P2的坐标分别为x1y1x2y2，
xy1x2y2这4个实数蕴涵着何根据OPP12的边长关系，你能发现1
种大小关系吗？
OP1OP2PP12
22x12y12x2y2x1x22y1y22
P1x1y1
当且仅当OP1P2在O两1P2三点共线且P
P2x2y2旁时等号成立
OO
P1x1y1
P2x2y2
定理3（二维形式的三角不等式，也叫柯西不等式的三角形式）设x1y1x2y2∈R，那么
22x12y12x2y2x1x22y1y22
分析：运用柯西不等式证明，关键设法构造两数平方和乘另两数平方和的形式。
2222222y2x12y12x2y22x12y12x2y2证明：x12y12x2
22x12y12x2y22x1x2y1y2
22x122x1x2x2y122y1y2y2
x1x22y1y22
22y2x1x22y1y22所以x12y12x2
推广：二维形式的三角不等式
x1x32y1y32x2x32y2y32x1x22y1y22
三例题讲解
4422332【例1】已知ab为实数，证明ababab
分析：形式与二维形式的柯西不等式具有明显的一致性，因r