二维形式的柯西不等式
教学目标：1认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义2通过对二维柯西不等式多种形式的证明，掌握它们之间的关系，进一步理解柯西不等式的意义教学重难点：重点：柯西不等式的三种形式难点：柯西不等式的应用教学过程：一新课引入数学研究中，发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式，称之为经典不等式。平均值不等式
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R111
La1a2a
我们今天将学习柯西不等式还有后面要学到的排序不等式都是这样的经典不等式。二新课讲解首先我们从学习过的向量的角度来探究：urur【问题1】已知两向量，它们之间的夹角为0，判断
urururur与的大小关系；urururururururururur分析：coscosurur【问题2】若在平面直角坐标系xOy中abcd，用坐标表
示上述关系式；
222222222分析：acbdabcdabcdacbd
f【问题3】思考上述不等式的等号何时成立？ururcos10或adbc0adbc分析：所以我们得到这样一个不等式
a2b2c2d2acbd2当且仅当adbc时，等号成立
22这个不等式直观上很像我们熟悉的重要不等式ab2ab，都是反
映实数的平方和与乘积大小的关系，让同学们类比研究证明一下。
22222证明一（比较法）：abcdacbd
a2c2a2d2b2c2b2d2a2c2b2d22acbd
a2d2b2c22acbdadbc20
当且仅当ad
bc时等号成立
证明二（综合法）：a2b2c2d2a2c2b2d2a2d2b2c2
22222222ac2acbdbdad2adbcbc
22acbdadbc
acbd2
当且仅当ad即要证ACB2这与函数fxAx22BxC的判别式4B24AC密切相关，则构造fxa2b2x22acbdxc2d2
22222当ab0时，abcdacbd显然成立，
bc时等号成立
证明三：分析：设Aa2b2，Bacbd，Cc2d2
此时adbc当ab中至少有一个不为0时，a2b20
fxa2x22acxc2b2x22bdxd2axc2bxd20恒成立
由于a2b20，所以
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