长交AD于点Q求证：BPDQ解题思路：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴ABBCCDAD5，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝3
22∴OBABOA4，BD＝2OB8
A
Q
D
O
B
P
C
E
第18题图
∵AD∥CE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形∴CE＝AD＝BC＝5，DE＝AC＝6∴△BDE的周长是：BDBCCEDE＝8106＝24（2）证明：∵AD∥BC，∴∠OBP∠ODQ，∠OPD∠OQD∵OBOD，∴△BOP≌△DOQ，∴BPDQ。5．（2012山东东营）如图，在□ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点求证：（1）△ABE≌△CDF；
3
f（2）四边形BFDE是平行四边形【答案】证明（1）在平行四边形ABCD中，ABCD，ADCB又点E，F分别是AD，BC的中点AECF
AED
BAEDCF
△ABE≌△DCF边，角，边
BF（第19题图）C
（2）在平行四边形BFDE中，∵△ABE≌△DCF
BEDF
又点E，F分别是AD，BC的中点DEBF
四边形BFDE是平行四边形
6．（2012广东中山、汕头）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．（1）试说明AC＝EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
6题图【答案】证明：（1）∵△ACD和△ABE都是等边三角形∴∠EAB＝∠DAC＝60，AB＝AE，AC＝AD∵EF⊥AB∴∠EFA＝∠ACB＝90，∠AEF＝30∴∠BAC＝∠AEF
7题图
∵∠BAC＝30
∴△ABC≌△EAF（AAS）∴AC＝EF．
（2）∵∠DAC＋∠CAB＝90∴DA⊥AB∵EF⊥AB∴AD∥EF∴AD＝EF∴四边形ADFE是平行四边形．
∵AC＝EF，AC＝AD
7．（2012江苏泰州）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC∠CAB，∠DEC90°．1求证：AC∥DE；2过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．
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f【答案】⑴在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA∠CAB，∵∠EDC∠CAB，∴∠DCA∠EDC，∴AC∥DE；⑵四边形BCEF是平行四边形．理由：由∠DEC90°，BF⊥AC，可得∠AFB∠DEC90°，又∠EDC∠CAB，ABCD，∴△DEC≌△AFB，∴DEAF，由⑴得AC∥DE，∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且ADEF，∵在矩形ABCD中，AD∥BC且ADBC，∴EF∥BC且EFBC，∴四边形BCEF是平行四边形．8（2012年江苏宿迁）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AECF．求证：∠EBF∠FDE．证明：连接BD交AC于O点∵四边形ABCD是平行四边形∴OAOC，OBOD又∵AECF∴OEOF∴四边形BEDF是平行四边形∴∠EBF∠EDF9．2012湖南怀化）如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O分别与ABCD的延长线交于点EF求证：四边形AECF是平行四边形
BBAEFCAEOFCDD
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ODr