数列通项公式的求法
一求数列通项公式a
常用方法数列满足的递推公式由S
求a
方法
S
累加法累乘法
a
a
1f
（如a
a
12
）
a
af
（如
2
）a
1a
1
a
qa
1p（如a
2a
11）
a

构造数列a
为公比q的等比数列取倒数，构造数列
a
1
pa
1
（如a

a
1）2a
11
1为等差数列a

a
pa
1q
（如a
2a
12
）在原递推等式两边同除q
，构造数列
b
a
，再进一步解决。q

注意：选择用哪一种方法求通项公式，关键是看已知条件数列满足的递推公式。有时要用上两种以上方法才可以求解。二观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）112439416
251017
（3）1212
325
（4）1234
2345
三公式法例2
等差数列a
是递减数列，且a2a3a448，a2a3a412，则数列的通项公式是（B
）
Aa
2
12
a
2
4Ca
2
12Da
2
10

1S1三由S
求a
：a
S
S
1
2例3已知数列a
的前
项和，求a

（1）S
12
2
（2）S
2

1
f例4若数列a
的前
项和S
3a
3，求该数列的通项公式。2
已知数列a
中，a11a26，，其前
项和S
满足S
2S
23S
12
3求数列a
的通项公式；
例8、已知等差数列a
的公差d1，且a1，a3，a9成等比数列。（1）求a
的通项公式；（2）求a1a4a7a3
2
例5已知正项数列a
，其前
项和S
满足10S
a
25a
6且a1a2a15成等比数列，求数列a
的通项a

例6定义运算符号：“


”，这个符号表示若干个数相乘，例如可将1×2×3×…×
记作
i
i
N，记T
ai，其中ai为数列a
N中的第i项．
i1
若T
2
N，则a
＝
2
．
设数列a
满足a13a232a3…3
1a

，aN．求数列a
的通项；3
例7数列a
的前
项和记为S
，已知a11a
1（Ⅰ）数列

2S
123证明：

S
（Ⅱ）S
14a
是等比数列；

2
f四形如a
1a
f
型（累加法）（1）若f
为常数即：a
1a
d此时数列为等差数列，则a
a1
1d（2）若f
为
的函数时，用累加法例7已知数列｛a
｝满足a11a
3
r