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设a(x,y),bx,y。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。ABBCAC。abxx,yy。a00aa。向量加法的运算律:交换律:abba;结合律:abcabc。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么ab,ba,ab00的反向量为0ABACCB即“共同起点,指向被减”axybxy则abxxyy
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且λaλa。当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ0时,λa0,方向任意。当a0时,对于任意实数λ,都有λa0。注:按定义知,如果λa0,那么λ0或a0。实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当λ>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的λ倍;当λ<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的λ倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:λabλabaλb。向量对于数的分配律(第一分配律):λμaλaμa数对于向量的分配律(第二分配律):λabλaλb数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λaλb,那么ab。②如果a≠0且λaμa,那么λμ。
3、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量ab。作OAaOBb则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈ab〉并规定0≤〈ab〉≤π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作ab。若a、b不共线,则ababcos〈a,b〉;若a、b共线,则abab。
f向量的数量积的坐标表示:abxxyy。向量的数量积的运算律abba(交换律);λabλab关于数乘法的结合律;(abcacbc(分配律);向量的数量积的性质aaa的平方。a⊥b〈〉ab0。ab≤ab。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即:abc≠abc;例如:ab2≠a2b2。2、向量的数量积不满足消去律,即:由abaca≠0,推不出bc。3、ab≠ab4、由ab,推不出ab或ab。
4、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:a×babsi
〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b0。
向量的向量积性质:a×b是以a和b为边的平行四边形面积。a×a0。a‖b〈〉a×b0。r
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