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20XX年全国各地中考数学压轴题专集答案
七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形1．（天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
y
B
P
B′
O
图①
CAx
yBP
B′
O
图②
C
Q
C′Ax
解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t根据勾股定理，OP2＝OB2＋BP2即2t2＝62＋t2，解得t＝23（t＝－23舍去）．∴点P的坐标为（23，6）（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC∵∠OPB′＋∠OPB＋∠QPC′＋∠QPC＝180°，∴∠OPB＋∠QPC＝90°∵∠BOP＋∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ
又∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴
OBPC
＝
BPCQ
由题设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11－t，CQ＝6－m
∴
611－t
＝
t6－m
，∴m＝
16
t2－
116
t＋6（0＜t
＜11）
yBP
B′
O
（Ⅲ）点P的坐标为（11－313，6）或（11＋313，6）
提示：过点P作PH⊥OA于H
易证△PC′H∽△C′QA，∴
PHAC′
＝
PC′C′Q
∵PC′＝PC＝11－t，PH＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6－m
∴AC′＝C′Q2－AQ2＝36－12m
y
B
P
B
∴
636－12m
＝
11－t6－m
OH
CQC′Ax
CQCAx
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∵
611－t
＝
t6－m
，即
6t
＝
11－t6－m
∴
636－12m
＝
6t
，∴36－12m＝t2，即
12m＝36－t2
又
m＝
16
t2－
116
t＋6，即
12m＝2t2－22t＋72
∴2t2－22t＋72＝36－t2，即3t2－22t＋36＝0
解得：t＝
11±3
13
∴点P的坐标为（11－313，6）或（11＋313，6）
2．（天津模拟）如图，在梯形ABCO中，A（0，2），B（4，2），点C为x轴正半轴上一动点，M为线段BC中点．（1）设C（x，0），S△AOM＝y，求y与x的函数关系式；（2）如果以线段AO为直径的⊙D和以BC为直径的⊙M外切，求点C的坐标；（2）连接OB交线段AM于N，如果以A、N、B为顶点的三角形与△OMC相似，求直线CN的解析式．
y
A
B
D
M
O
C
x
解：（1）取OA中点D，连接DM
则
DM＝
12

AB＋OC
＝
12
4＋x＝
12
x＋2
∴y＝
12
OADM＝
12
×2×
12
x＋2r