2017届高三第一轮复习专题训练之
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：
模型一：“手电筒”模型
例题、（07山东）已知椭圆C：x2y21若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B43
不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。
解：设
Ax1
y1
Bx2
y2

，由
y3x2

kxm4y212
得
3

4k
2
x2

8mkx

4m2

3

0
，
64m2k21634k2m230，34k2m20
x1

x2


8mk34k2

x1

x2

4m2334k2
y1

y2

kx1

mkx2

m

k2x1x2

mkx1

x2

m2

3m24k234k2
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D20且kADkBD1，

y1x1
2

y2x2
2

1，
y1
y2

x1x2

2x1

x2


4

0
，
3m24k234k2

4m2334k2

16mk34k2

4

0
，
整理得：7m2
16mk
4k2

0
，解得：m1

2km2


2k7
，且满足3
4k2

m2

0
当m2k时，lykx2，直线过定点20与已知矛盾；
当m2k时，lykx2，直线过定点20
7
7
7
综上可知，直线l过定点，定点坐标为207
◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直
线交圆锥曲线于
AB，则
AB
必过定点
x0a2b2a2b2

y0aa2
2bb2
2


。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦
对定点张直角的一组性质”）
◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件（如kAPkBP定
值，kAPkBP定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考
优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节）此模型解题步骤：
Step1：设AB直线ykxr