CFD实验报告二
一、题目求解Poisso
方程
2x2

2y2
si
xcosy，
姓名：学号：
0x1，
0y1，
x00，

y0

si
x2
，

x1
y

si
1cosy2
，

y1
x

si

xcos1，2
描出等值线：00502050751
要求所用方法：1JacobiGS选一；SOR，线SOR，块SOR选一。迭代法
要求误差106；
2CG方法，MG方法选一。
二、报告要求
1）简述问题的性质、求解原则；2）列出全部计算公式和步骤；3）表列出程序中各主要符号和数组意义；4）计算结果与精确解比较5）结果分析（方案选择、比较、讨论、体会、建议等）；6）附源程序。
三、问题简要分析
31问题性质从题目给出的问题可以看出，该方程是一个二阶线性非齐次偏微分方程，并
且给出了四个边界条件，更具定解条件，所以该方程是可以求解的。
32求解原则题中是关于x和y的二阶导数，因此可以用二阶中心差分离散，即用正五点
格式离散泊松方程。将差分方程整理成以五对角矩阵为系数的线性方程组，用
Jacobi或者CG或者SOR等迭代方法求解线性方程组，即可得到函数ij的在网
f格点处的离散值。同时，计算域为LxLy的矩形区域，划分结构网格，均匀步长，设x方向网格步长x，y方向网格步长y，则x方向网格点数为mLxx1，y方向网格点数为
Lyy1。
四、计算公式和步骤
41精确解的计算题中已知四个边界条件，可以通过现已有的解析求解不难求得精确解（解析
解）为1si
xcosyxy。2
42迭代求解一般过程迭代法是求解离散代数方程组的主要方法。假如我们对题目中的PDE给定
一个离散格式，则对每一个确定的离散点（i，j），PDE转化为FDE，为
ijF1abcdsi
i1xcosi1y，其中abcd是离散格式中所有
与ij有关的点，函数F1中所有元素都是线性叠加，即F1是线性多元函数。所以，
将边界上给定结果以及中间的离散格式得到的结果综合起来就是一个线性方程组如下：
a11








a


12
1
a1
12

11


0







1
1





si
11





11

si
1cos0





a
12
12



1
1
si
1cos1
也就是AVB，A0，令ANPNA
故AVPVBPV即NVBPV
NV
1PV
B其中N可以分为对角阵、三对角阵、上下三角阵。迭代式：
V
1N1PV
N1B给出初值V0
或者NV
1PV
BPV
AV
BAV
R
BAV
残量
f推出NV
1NV
R
收敛准则：1）
足够大，残量趋于零（小于）
2）V
1V
043方程离散
上述泊松方程在xiyj的正五点差分格式为：
i1j
2ijx2
i1j
ij12ijy2
ir