第七章
第49炼等差数列性质
数列
第49炼等差数列性质
一、基础知识：1、定义：数列a
若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称a
是等差数列，这个常数称为a
的公差，通常用d表示2、等差数列的通项公式：a
a1
1d，此通项公式存在以下几种变形：（1）a
am
md，其中m
：已知数列中的某项am和公差即可求出通项公式
a
am：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差
maa11：已知首项，末项，公差即可计算出项数（3）
d
（2）d3、等差中项：如果abc成等差数列，则b称为ac的等差中项（1）等差中项的性质：若b为ac的等差中项，则有cbba即2bac（2）如果a
为等差数列，则
2
N，a
均为a
1a
1的等差中项（3）如果a
为等差数列，则ama
apaqm
pq注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。比如m
pqs，则ama
apaqas不一定成立②利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：a4a7a8a920，可得a4a7a8a9a7a7a7a74a720，即可得到a75，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：
a
a1
1dd
a1d，所以该通项公式可看作a
关于
的一次函数，从而可
通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：d0，a
递增；d0，a
递减。5、等差数列前
项和公式：S

a1a
，此公式可有以下变形：2
（1）由m
pqama
apaq可得：S

apaq2

pq
1，作用：
在求等差数列前
项和时，不一定必须已知a1a
，只需已知序数和为
1的两项即可
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第49炼等差数列性质
数列
（2）由通项公式a
a1
1d可得：S

a1a1
1d2

a1


12
d
作用：①这个公式也是计算等差数列前
项和的主流公式②S
a1


12
d
d21即S
是关于项数
的二次函数
N，
a1d
，22
且不含常数项，可记为S
A
2B
的形式。从而可将S
的变化规律图像化。
（3）当
2k1kN时，


S2k1
a1a2k12k12
因为a1a2k12ak
S2k1r