2a8bCD3ab，则（）A
A点A、B、D共线C点B、C、D共线【题型解析】
B点A、B、C共线D点A、C、D共线
题型一向量的相关概念
2
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例1．对于非零向量ab，“abo”是“ab”的（）A
A充分非必要B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要
解析：当abo时ab有ab
当ab时不一定有ab
方法点评：掌握充分、必要条件的判断；共线向量的定义
知识突破：如图，四边形ABCD，其中
AB

DC
，则相等向量是（D
C）D
AAD与CB
BOA与OC
O
CAC与DB
DDO与OB
题型二向量的运算
A
例2．如图所示，D、E是△ABC中AB，AC边的中点，
BA
M、N分别是DE，BC的中点。已知BCa，BDb，试用ab分别表示DECE和MN。
D
ME
解析：由三角形中位线定理知DE1BC，故DE1BC，即
2
2
B
DE1aCECBBDDEab1a1ab
2
22
CN
MNMDDBBN1DEBD1BC1ab1a1ab
2
2
4
24
方法点评：用已知向量来表示另外一些向量，要综合利用向量的加减的三角形法则、多边形法
则、数乘向量，还要充分利用平面几何的一些定理
知识突破：如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且ABaADb，用ab
表示MAMBMCMD
D
C
b
A
M
A
B
a
解析：因为AACABADab，DBABADab
所以MA1AC1a1b
2
22
MB1DB1ab1a1b
2
2
22
MA1AC1a1b
2
22
MDMB1DB1a1b
2
22
题型三共线向量
例3．设ab是两个不共线的非零向量
3
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（1）若OA2abOB3abOCa3b，求证：A，B，C三点共线；（2）若8akb和ka2b共线，求实数k的值。
解析：（1）因为ABOBOA3ab2aba2bBCOCOBa3b3ab2a4b2AB
所以ABBC共线；
（2）因为8akb和ka2b共线，所以存在实数，使8akbka2b，即
8kak2b0。
因为
a与b
不共线，所以
8k
k2
0
，解得
0


2，所以
k

2

4
方法点评：从正反两方面考查向量共线的充要条件；三点共线问题可利用共线向量的充要条件
知识突破：已知ab为两个非零向量，OAabOBa2bOCa3b。
试问：A、B、C三点是否共线，为什么？
解析：因为ABOBOAa2babbACOcOAa3bab2b
所以AC2AB，即A、B、C三点共线
【巩固训练】
1若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋DC＝BC＋DA；
②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB其中正确的有
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，
不一定相等；
②式的等价式是AC－BC＝AD－BDr