新课标数学选修45柯西不等式教学题库大全
一、二维形式的柯西不等式a2b2c2d2≥acbd2abcd∈R当且仅当adbc时等号成立
二、二维形式的柯西不等式的变式
1a2b2c2d2≥acbdabcd∈R当且仅当adbc时等号成立
2a2b2c2d2≥acbdabcd∈R当且仅当adbc时等号成立
3abcd≥acbd2abcd≥0当且仅当adbc时，等号成立
三、二维形式的柯西不等式的向量形式
αβ≤αβ当且仅当β是零向量或存在实数k使αkβ时等号成立
借用一句革命口号说：有条件要用没有条件，借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，也要用。比如说吧，对a2b2c2，并不是不等式的，形状，但变成形状，但变成13121212a2b2c2就可以用柯西不等式了。就可以用柯西不等式了。基本方法（1）巧拆常数：）巧拆常数：
例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：
2229abbccaabc
（2）重新安排某些项的次序：例2：a、b为非负数，ab1，x1x2∈R求证：ax1bx2bx1ax2≥x1x2（3）改变结构：例3、若abc（4）添项：
abc3≥bccaab2vvvvv【1】设a212b6，则ab之最小值为________；此时b________。、vvvvvvvv答案：18424解析：ab≤ab∴ab≤18∴18≤ab≤18114≥abbcac
求证：
例4：abc∈R求证：
1
fvvvvab之最小值为18，此时b2a424vvvv【2】设a1，0，2，bx，y，z，若x2y2z216，则ab的最大值为【解】vvvv∵a1，0，2，bx，y，z∴a．bx2z由柯西不等式12022x2y2z2≥x02z2
。
5×16≥x2z245≤x≤45vvvv45≤a．b≤45，故a．b的最大值为45
vvvvvv【3】空间二向量a123，bxyz，已知b56，则1ab的最大值为多少？2此时b？A
s：128：2246
4936【4】设a、b、c为正数，求abc的最小值。A
s：121abc
【5】设x，y，z∈R，且满足x2y2z25，则x2y3z之最大值为
解x2y3z2≤x2y2z21222325．1470∴
70【6】设x，y，z∈R，若x2y2z24，则x2y2z之最小值为
x2y3z最大值为
22
时，x，y，z
解x2y2z≤xyz1224．936
22222
∴
x2y2z最小值为6，公式法求x，r