高等数学教案
第四章
不定积分
第四章
教学目的：1、2、
不定积分
3、教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。§41不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念
理解原函数概念、不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
定义1如果在区间I上可导函数Fx的导函数为fx即对任一xI都有Fxfx或dFxfxdx那么函数Fx就称为fx或fxdx在区间I上的原函数例如因为si
xcosx所以si
x是cosx的原函数又如当x1时因为x1所以x是1的原函数2x2x提问cosx和1还有其它原函数吗？2x原函数存在定理如果函数fx在区间I上连续那么在区间I上存在可导函数Fx使对任一xI都有Fxfx简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数fx在区间I上有原函数Fx那么fx就有无限多个原函数FxC都是fx的原函数其中C是任意常数第二fx的任意两个原函数之间只差一个常数即如果x和Fx都是fx的原函数则xFxCC为某个常数
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第四章
不定积分
定义2在区间I上函数fx的带有任意常数项的原函数称为fx或fxdx在区间I上的不定积分记作
fxdx
其中记号称为积分号fx称为被积函数fxdx称为被积表达式x称为积分变量根据定义如果Fx是fx在区间I上的一个原函数那么FxC就是fx的不定积分即
fxdxFxC
因而不定积分fxdx可以表示fx的任意一个原函数例1因为si
x是cosx的原函数所以
cosxdxsi
xC
因为x是1的原函数所以2x
2
1dxxCx
例2求函数fx1的不定积分x解：当x0时l
x1x
xdxl
xCx0
当x0时l
x111xx
1
xdxl
xCx0
合并上面两式得到
1
xdxl
xCx0
例3设曲线通过点12且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程解设所求的曲线方程为yfx按题设曲线上任一点xy处的切线斜率为yfx2x即fx是r