第十章罚函数法与广义乘子法
本章主要内容：外罚函数法内罚函数法广义乘子法教学目的及要求：了解外罚函数法、内罚函数法、广义乘子法。教学重点：外罚函数法．教学难点：广义乘子法．教学方法：启发式．教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合．教学时间：3学时．教学内容：
§101外罚函数法考虑约束非线性最优化问题
mi
fx
stgix0i12m

hjx0j12l
（1011）
其中fxgix（i12m）和hjx（j12l）都是定义在R
上的实值连续
函数．记问题（1011）的可行域为S．对于等式约束问题
定义罚函数
mi
fxsthjx0j12l
（1012）
l
F1xfxhj2x，j1
其中参数是很大的正常数．这样，可将问题（1012）转化为无约束问题
mi
xR

F1

x


．
（1013）
对于不等式约束问题
定义罚函数
mi
fxstgix0i12m
（1014）
fm
F2xfxmax0gix2，i1
其中是很大的正数．这样，可将问题（1014）转化为无约束问题
mi
xR

F2

x


．
（1015）
对于一般的约束最优化问题（1011），定义罚函数
FxfxPx，
其中是很大的正数，Px具有下列形式：
m
l
Pxgixhjx．
i1
j1
和是满足下列条件的实值连续函数：
y0当y0时，y0当y0时y0当y0时，y0当y0时函数和的典型取法为
ymax0y，
yy，
其中1和1是给定的常数，通常取作1或2．
这样，可将约束问题（1011）转化为无约束问题mi
FxfxPx，
xR
其中是很大的正数，Px是连续函数．
（1016）
算法101（外罚函数法）
Step1选取初始数据．给定初始点x0，初始罚因子10，放大系数1，允许误差0，令k1．
Step2求解无约束问题．以xk1为初始点，求解无约束问题
f设其最优解为xk．
mi
FxfxPx，
xR

（10111）
Step3检查是否满足终止准则．若kPxk，则迭代终止，xk为约束问
题（1011）的近似最优解；否则，令k1kkk1，返回Step2．
例1用外罚函数法在平面x2y3上求一点Pxy，使得P到定点A32
的距离近似最短，取1052103．解令fxyx32y22，问题可归为求解如下最优化问题
mi
fxyx32y22sthxyx2y30
引入罚函数Fxykx32y22kx2y32．则原约束最优化问题相应的一系列无约束最优化问题为：
mi
Fxyk，其中105k12kk12．
T
解上述无约束问题，得xkykT


311k15k
22k15k

，
同时kPxkyk

16k15k2
．r