第十章罚函数法与广义乘子法
本章主要内容:外罚函数法内罚函数法广义乘子法教学目的及要求:了解外罚函数法、内罚函数法、广义乘子法。教学重点:外罚函数法.教学难点:广义乘子法.教学方法:启发式.教学手段:多媒体演示、演讲与板书相结合.教学时间:3学时.教学内容:
§101外罚函数法考虑约束非线性最优化问题
mi
fx
stgix0i12m
hjx0j12l
(1011)
其中fxgix(i12m)和hjx(j12l)都是定义在R
上的实值连续
函数.记问题(1011)的可行域为S.对于等式约束问题
定义罚函数
mi
fxsthjx0j12l
(1012)
l
F1xfxhj2x,j1
其中参数是很大的正常数.这样,可将问题(1012)转化为无约束问题
mi
xR
F1
x
.
(1013)
对于不等式约束问题
定义罚函数
mi
fxstgix0i12m
(1014)
fm
F2xfxmax0gix2,i1
其中是很大的正数.这样,可将问题(1014)转化为无约束问题
mi
xR
F2
x
.
(1015)
对于一般的约束最优化问题(1011),定义罚函数
FxfxPx,
其中是很大的正数,Px具有下列形式:
m
l
Pxgixhjx.
i1
j1
和是满足下列条件的实值连续函数:
y0当y0时,y0当y0时y0当y0时,y0当y0时函数和的典型取法为
ymax0y,
yy,
其中1和1是给定的常数,通常取作1或2.
这样,可将约束问题(1011)转化为无约束问题mi
FxfxPx,
xR
其中是很大的正数,Px是连续函数.
(1016)
算法101(外罚函数法)
Step1选取初始数据.给定初始点x0,初始罚因子10,放大系数1,允许误差0,令k1.
Step2求解无约束问题.以xk1为初始点,求解无约束问题
f设其最优解为xk.
mi
FxfxPx,
xR
(10111)
Step3检查是否满足终止准则.若kPxk,则迭代终止,xk为约束问
题(1011)的近似最优解;否则,令k1kkk1,返回Step2.
例1用外罚函数法在平面x2y3上求一点Pxy,使得P到定点A32
的距离近似最短,取1052103.解令fxyx32y22,问题可归为求解如下最优化问题
mi
fxyx32y22sthxyx2y30
引入罚函数Fxykx32y22kx2y32.则原约束最优化问题相应的一系列无约束最优化问题为:
mi
Fxyk,其中105k12kk12.
T
解上述无约束问题,得xkykT
311k15k
22k15k
,
同时kPxkyk
16k15k2
.r