第7章梁的弯曲变形与刚度
71梁弯曲变形的基本概念711挠度在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图72）。梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。
x
y
挠度
wx
y
转角
切线
x
wx
x
x
x
l
x
l
图73梁的转角
图72梁的挠曲线
挠曲线的曲线方程：
wwx
（71）
称为挠曲线方程或挠度函数。实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿轴的正向（向上）为正，沿y轴的负向（向下）为负（图74）。
y
必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。712转角梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图73）。转角随梁轴线变化的函数：
x
（72）
称为转角方程或转角函数。由图73可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x的正方向之间的夹角。所以有：ta


dwx由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以dx
和ta
是同阶小量，即：ta
，于是有：
fx
dwxdx
（73）
即转角函数等于挠度函数对x的一阶导数。一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图74）。需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（73）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。
yy
w0
0
x
w0
x
0
a正的挠度和转角
b负的挠度和转角
图74梁的挠度和转角的符号
713梁的变形材料力学中梁的变形通常指的就是梁的挠度和转角。但实际上梁的挠度和转角并不是梁的变形，它们和梁的变形之间有联系也有本质的差别。如图75（a）所示的悬臂梁和图75（b）所示的中间铰梁，在图示载荷作用下，悬臂梁和中间铰梁的右半部分中无任何内力，在第二章曾强调过：杆件的内力和杆件的变形是一一对应的，即有什么样的内力就有与之相应的变形，有轴力则杆件将产生拉伸或压缩变形，有扭矩则杆件将产生扭转变形，有剪力则杆件将产生剪切变形，有弯矩则r