矩形菱形与正方形
例题1（2014福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点
D，E，F分别在边AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC24cm，BC20cm，∠ACB45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．
考点：四边形综合题分析：（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．解答：解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB45°，AC24cm
f∴AG
12
，
设DFECx，平行四边形的高为h，则AH12∵DF∥BC，∴，
h，
∵BC20cm，即：∴x∵Sxhx∴×20，×2020h6，
h2．
∵AH12∴AFFC，
，
∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．
（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．
f例题2（2014珠海，第21题9分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边
BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AECF，BEEG．
（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）求证：．
考点：四边形综合题分析：（1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定．（2）先确定三角形GCF是等腰直角三角形，得出CGAE，然后通过△BAE≌△BCG，得出BEBGEG，即可求得．（3）因为三角形BEG是等边三角形，∠ABC90°，∠ABE∠CBG，从而求得∠ABE15°，然后通过求得△AHB∽△FGB，即可求得．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BF，∵AECF，∴四边形ACFE是平行四边形，∴EF∥AC，（2）连接BG，∵EF∥AC，∴∠F∠ACB45°，∵∠GCF90°，∴∠CGF∠F45°，∴CGCFr