数学归纳法
数学归纳法是用于证明与正整数
有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．这种方法的原理
简单易懂，在实际生活中都能找到它的影子，多米诺骨牌、蝴蝶效应都可以看做是数学归纳法的一种体现。而在数学方面的应用上，它更显出了重要的地位，正因如此，在近年的高考试题，特别是压轴大题上，常常运用数学归纳法来解题；在竞赛数学，数学归纳法更是在数列、组合等多方面发挥着重要作用。（一）数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法
设P
是一个与正整数有关的命题，如果
①当
0（
0N）时，P
成立；②假设
kk
0kN成立，由此推得
k1时，P
也成立，那么，根据①②对一切正整数
0时，P
成立．
例1（07江西理22）设正整数数列a
满足：a24，且对于任何
N，有
11
21a
a
121．
a
111
a


1
（1）求a1，a3；
（2）求数列a
的通项a
．
解：（1）据条件得2
1a
1


1

1a


1a
1


2
1a

①当
1时，
由2
1a2

1
2

a1

1a2

2
1a1
，即有2
14

2a1

24

2
1a1
，解得23

a1

87
．因为a1为正整数，故
a1
1．当


2时，由2
1a3

6

14

1a3


2
14
，解得8

a3
10
，所以a3

9
．
（2）由a11，a24，a39，猜想：a
2．下面用数学归纳法证明
1当
1，2时，由（1）知a
2均成立；
2
假设
kk≥2成立，ak

k2
，则


k
1时由①得2
1ak1

kk
1

1k2

1ak1


2

1k2


k2k2
k1k1

ak
1

kk2k1k1
k12
k12k21
ak1
k12

1因为k≥2时，k1
1
fk2
1
k
12

kk
1k
2≥0
，所以
k12k21
0，1．k
1≥1，所以
10，1．
k1
又ak1N，所以k12≤ak1≤k12故ak1k12，即
k1时，a
2成立．
由1，2知，对任意
N，a
2．此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值又两个，即
1和
2。
（2）第二数学归纳法
设P
是一个与正整数有关的命题，如果
①当
0（
0N）时，P
成立；
②假设
kk
0kN成立，由此推得
k1时，P
也成立，那么，根据①②对一切正
整数
0时，P
成立．



例2已知对任意的
N
1a
0且
a
3j


aj，求证：a

j1
j1
证：（1）当
1时，因为a13a12且a10，所以，a11，命题成立；
（2）假设
k时命题成立，即ajjj12k当
k1时，因为
k1
k
k
k1
k1
k
k
k
a3j
a3j

a3k1


aj
2

a3k1
，
a3jaj2ajak12aj22ak1
aj

a2k1
j1
j1
j1
j1
j1
j1
j1
j1
kr