初中数学竞赛专题讲座
不定方程、方程组
不定方程、方程组
所谓天才人物指的就是具有毅力的人、勤奋的人、入迷的人和忘
我的人．
木村六一
【知识纵横】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．
对于不定方程（组），我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．
二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：
设a、b、c、d为整数，则不定方程axbyc有如下两个重要命题：
（1）若abd，且d不能被c整除，则不定方程axbyc没有整数解；
（2）若x0y0是方程axbyc且ab1的一组整数解（称特解），则
x

y

x0y0

btat
t
为整数）是方程的全部整数解（称通解）．
解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进
行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、
因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等．
【例题求解】
例1（1）正整数m
满足8m9
m
6，则m的最大值为_____________．
（2）小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册花了142元，则两种纪念册最少共买_______________本．
例2如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千
米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问
下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（
）．
例3（1）求方程15x52y6的所有整数解．
（2）求不定方程5x7y978的正整数解的组数．
（3）求方程1115的正整数解．xyz6
例4一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？
例5中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
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不定方程、方程组
例6甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？
【学力训练】
基础夯实
1、已知xyz满足xy5及z2xyy9，则x2y3z______________．
2、已知4x3y6z0x2y7zr