2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题赛程安排
你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单
循环赛，共要进行10场比赛。如何安排赛程使对各队来说都尽量公
平呢？下面是随便安排的一个赛程：记5支球队为A，B，C，D，E，
在下表左半部分的右上角的10个空格中，随手填上1，2，…，10，
就得到一个赛程，即第1场A对B，第2场B对C，…第10场C
对E。为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角。
这个赛程的公平如何呢？不妨只看看各队每两场比赛中间得到
的休整时间是否均等。表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次
数，显然这个赛程对A，E有刮，对D则不公平。
ABCDE
每两场比场间相隔场次数
A
×1936
1，2，2
B
1×258
0，2，2
C
92×710
4，1，0
D
357×4
0，0，1
E
68104×
1，1，1
从上面的例子出发讨论以下问题
1对于5支球队的比赛，给出一个各队每两场比赛中间都至少
相隔一场的赛程。
2当
支球队比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上
限是多？
1
f3在达到2的上限的条件不，给出
8，
9的赛程，并说明
它们的编制过程。
4除了每两场比赛间相隔场次数外，你还能给出哪些指标来衡
量一个赛程的优劣，并说明3中给出的赛程达到这些指标的程度。
问题的分析体育比赛要消耗大量的体力，特别是球类比赛，
必须进行多场长时间的较量，体力是否充沛直接影响到成绩的优劣。
如何利用两场比赛之间的空隙的时间进行休整，使体力得到充分的恢
复，是个十分重要的问题。而这将决定于赛程的安排。如问题中5个
球队的一个程赛安排对A队是最有利的，因为这样的赛程他可以利
用在每两场比赛之间的休息时间使体力得到充分恢复。而对于D队
必须连续打3场，显然这对他来讲是很不利的。由此可以看出，为了
使竞赛对每个队尽可能做到公正，首先要求赛程安排要公平。一个好
的赛程安排应该是对每个队都尽量做到公平。
问题1的解答有多种方法甚至是凑的方法都能给出一个达
到要求的赛程，如表1。
ABCDE每两场比赛间相隔场次数
A×1693
1，2，2
B1×4710
2，2，2
C64×28
1，1，1
D972×5
2，1，1
E31085×
1，2，1
表1
2
f从表中可以看到每个队每两场比赛之间至少都能休息一场。但是
无论如何安排都不能使每个队每两场比赛之间休息两场。1就是5个
球队各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限。
2的解答当
支球队比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次
数的上限是
r≤



2
3

，证明如下：
设赛程中某r