lim
x0
1
对数函数
ylog
a
x
借助特殊极限x0
lim1x
x
e
很容易求得结果，于是得
公式：
x
x

1
si
xcosxlogx1xl
a显然l
x1x
a
作为练习，类似地大家可以做
cosxsi
xaa
xx
l
a显然ee
x
x
二、求导运算关于函数运算的性质１、关于四则运算１）定理32若函数uxvx都可导，则
uxvxuxvxuxvxuxvxuxvx当vx恒不为0uxvxuxvxvxuxvx
2
２）说明：１）证明就是利用导数定义的推演只要能看懂就行。关键在于这些法则的灵活运用。加减法
f很简单，和差的导数等于各自导数后和差。但是乘法除法就特殊了需要理解和记忆。特别是除法，首先是分母函数平方而分子是两项之差，因减法没交换律，一定要分清减数和被减数。２）加减乘都可以推广到
个函数的情况，例如乘法
u1u
u1u2u
u1u2u3u
u1u
1u

３）数乘性
作为乘法法则的特例若vx为常数c则cuxcux这说明常数可任意进出导数
符号４）线性性类似极限运算的讨论。求导运算也是满足线性性的，即1可加性2数乘性，对于
个函数的情况


Cifixc1f1c
f
c1f1c
f
i1

i1
Cifix
３）运用这些运算法则，在原有的几个求导公式基础上，可推得
tgxsi
xcosxctgxsi
secxcscx1cosx1si
x1
2

cos
2
xsi
cos
2
2
x

1cos
2
secx
2
x
x
cscx
2
xsi
xcos
2
si
xcos
2
tgxsecx
x
x
ctgxcscx
２．反函数求导法则１）定理33若函数xy严格单调且可导，则其反函数yfx的导数
fx1
存在且
y
，这一定理的证明第一是yfx的反函数存在，第二若可导证其导
数等于其反函数的导数的倒数。２）由反函数求导法则结合前面基本导数公式又可得
farcsi

x
11x
2
arccosx11x
2
11x
2
arctgx
arcctgx
11x
2
注意这些公式的推导时，难点在变量还原时开方的符号取舍的讨论上。３．复合函数求导法则１）定理34若ugx在x点可导yfu在相应的u点也可导，则其复合函数yfgx在点x
dy
可导且yxr