进而求出a
a
a
1a
1a
2a3a2a2a1a1，即得数列a
的通项公式。
例4已知数列a
满足a
13a
23
1，a13，求数列a
的通项公式。
解：a
1
3a

23


1
两边除以
3
1
，得
a
13
1

a
3


23

13
1
，
则a
13
1

a
3


23

13
1
，故
a
3



a
3

a
1a
1
a
1
a
1

a
23
2



a
23
2

a
33
3




a232

a131


a13


23

13




23

13
1



23

13
2




23

132


33

2
13


13


13


13
1

13
2


132


1
因此a
3


2
13

13

13
113
1
2
3

12

123

，
则a


2
3
3

13
2

12
第6页共15页
6
f大沥高级中学论文
评注：本题解题的关键是把递推关系式a
1
3a

23

1转化为a
13
1

a
3


23

13
1
，进而求出
a
3


a
13
1



a
13
1

a
23
2



a
23
2

a
33
3


a232

a131
a13
，即得数列

a
3


的通项公式，最后再求

数列a
的通项公式。
三、累乘法
例5已知数列a
满足a
12
15
a
，a13，求数列a
的通项公式。
解：因为
a
1

2

15

a
，a1

3，所以a


0
，则
a
1a


2

15

，故
a


a
a
1

a
1a
2


a3a2

a2a1

a1
2
115
12
215
2
22152211513
2
1
1325
1
2213

1
32
152


1
所以数列a
的通项公式为a
32
152

评注：本题解题的关键是把递推关系
a
1

2
15

a

转化为
a
1a


2
15

，进而求出
a
a
1a
1a
2

a3a2

a2a1

a1
，即得数列a
的通项公式。
例6（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列a
满足a11，a
a12a23a3
1a
1
2，求a
的通项公式。
解：因为a
a12a23a3
1a
1
2
①
所以a
1a12a23a3
1a
1
a

②
用②式－①式得a
1a
a

则a
1
1a
2
第7页共15页
7
f故a
1
1
2a

大沥高级中学论文
所以a


a
a
1

a
1a
2


a3a2
a2


1
43a2


2
a2

③
由a
a12a23a3
1a
1
2，取
2得a2a12a2，则a2a1，又知a11，则
a21，代入③得a
1345

。2
所以，a
的通项公式为
a


2
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
1


1a


2
转化为
a
1a


1


2
，进而求出
a
a
1a
1a
2

a3a2

a2
，从而可得当



2时，a

的表达式，最后再求出数列a
的通项公式。
四、待定系数法
例7已知数列a
满足a
12a
35
，a16，求数列a
的通项公式。
解：设a
1x5
12a
x5

④
将a
12a
35
代入④式，得2a
35
x5
12a
2x5
，等式两边消去2a
，得35
x5
1r