第8节函数的周期性【基础知识】
1．周期函数：对于函数y＝fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值
时，都有fx＋T＝fx，那么就称函数y＝fx为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
数就叫做fx的最小正周期．3．关于函数周期性常用的结论
1若满足fx＋a＝－fx，则fx＋2a＝fx＋a＋a＝－fx＋a＝fx，所
以2a是函数的一个周期a0；
2若满足fx＋a＝1，则fx＋2a＝fx＋a＋a＝1＝fx，所以
fx
fxa
2a是函数的一个周期a0；3若函数满足fxa＝1，同理可得2a是函数的一个周期a0fx
（4）如果yfx是R上的周期函数，且一个周期为T，那么
fx
Tfx
Z．
（5）函数图像关于xaxb轴对称T2ab．
（6）函数图像关于a0b0中心对称T2ab．
（7）函数图像关于xa轴对称，关于b0中心对称T4ab．
【规律技巧】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asi
ωx＋φ，用公式T＝2ωπ计算．递推法：若fx＋a＝－fx，则fx＋2a＝fx＋a＋a＝－fx＋a＝fx，所以周期T＝2a换元法：若fx＋a＝fx－a，令x－a＝t，x＝t＋a，则ft＝ft＋2a，所以周期T＝2a．
2．判断函数的周期只需证明fx＋T＝fxT≠0便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kTk∈Z且k≠0也是函数的周期．
f4关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．
【典例讲解】
例1、设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx＋2＝－fx．当x∈02时，fx＝2x－x2
1求证：fx是周期函数；2当x∈24时，求fx的解析式；3计算f0＋f1＋f2＋…＋f2013．3解∵f0＝0，f2＝0，f1＝1，f3＝－1又fx是周期为4的周期函数，∴f0＋f1＋f2＋f3＝f4＋f5＋f6＋f7＝…＝f2008＋f2009＋f2010＋f2011＝0∴f0＋f1＋f2＋…＋f2013＝f0＋f1＝1【拓展提高】
判断函数的周期只需证明fx＋T＝fxT≠0便可证明函数是周期函数，且周期为T，函
数的周期性常与函数的其他性质综合命题，r