第二章插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数fx的一些样点，选定一个便于计算的函数x形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数x作为fx的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。设已知区间ab上的实值函数f在
1个相异点xiab的函数值处
1
ffifxii01
，要求构造一个简单函数x作为函数fx的近似表达式fxx
xifxifii01
21这类问题称为插值问题。称f为被插值函数；x为插值函数；x0x
为插值节点；21
为插值条件。若插值函数类x是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。x是三角多项若式，则相应的插值问题称为三角插值。若是有理分式，则相应的插值问题称为有x理插值。§1Lagra
ge插值11Lagra
ge插值多项式设函数f在
1个相异点x0x1x
上的值fifxii01
是已知的，在次数不超过
的多项式集合P
中，求L
x使得L
xifi
01
22
2
使得
f定理1存在惟一的多项式L
P
满足插值条件22。证明我们采用构造性的证明方法。假如我们能够构造出
次多项式lix，使得
1ijlixjij，ij0
230ij
L
xfilix
i0

那么24
是满足插值条件22的插值多项式。余下的问题就是如何构造出满足式23的
次多项式lixi01
。由于当ij时，，即lixj0，ij01

x1
i

x1
i
1x是lix的零点，
因此lix

必然具有形式lixcixx0xxi1xxi1xx
cixxj
j0ji
3
f又因lixi1，故cixixj，因此
j0ji


xx
lix


xixj
j0ji
j0ji

j

j0ji


xxjxixj
25
至于多项式L
r