x的惟一性是极其简单的事实，只要注意到
次多项式且有
1零点这一事实。公式L
xfilix称为Lagra
ge插值公
i0

式，相应的L
x称为Lagra
ge插值多项式，li，i01
称为节点x0x
上的
次插值基函数。令fxxkk01
，由插值多项式的存在惟一性可得
xiklixxkk01
i0
4


26
由26知，任取p
xP
，那么p
x均可用
fl0l1l
线性表出。由此看出，spa
l0l1l
就是P
。
在26中取k0，则lix1。
i0

为了今后的需要，我们引入以下记号

1xxxj
j0


27
容易求得
1xxxj
m0j0jm

并有
1xkxkxj，将其代入插值基函
j0jk


数的表达式
lix
j0ji

xxjxixj



1xxxi
1xi
于是插值公式可写为
L
xfi
i0

1xxxi
1xi
5
28
f12插值余项及估计称RxfxL
x为Lagra
ge插值多项式L
x的余项定理2设fC
ab，且f
1在ab内存在，L
x是以x0x
为插值节点函数f的Lagra
ge插值多项，则对ab内的任意点x，插值余项为RxfxL
x29f
1
1xab
1证明对ab上任意的点x，且xixi，构造辅助函数0
1tGtftL
tRx
1x
1x显然GxfxL
xRx0，又
1x由插值条件Rxi0i0
可知Gxi0i0
，故函数Gt在ab内至少有
2个零点xx0x
。根据罗尔（Rolle）定理，函数Gt在ab内至少存在
1个零点，反复
6
f应用罗尔（Rolle）定理，可以得出G
1t在ab内至少存在一个零点，设为，即G
10由于
1G
1tf
1tRx
1x所以有x
1R
x
1f证毕。
1推论1设ax0x1x
b，hmaxxjxj1fC
abf
1在ab上
1j

存在，则有
fL
其中
xab

h
1f
1
1

210
sup。
证明对ab上任意的x，可设x属于ab的一个子区间xkxk1，由此可以得出
7
fh2xxkxxk14xxk22hxx
khxxk12hxx0k1h
从而有
xr