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函数的基本性质1.奇偶性
(1)定义:如果对于函数fx定义域内的任意x都有f-x-fx,则称fx为奇函数;如果对于函数fx定义域内的任意x都有f-xfx,则称fx为偶函数。
如果函数fx不具有上述性质,则fx不具有奇偶性如果函数同时具有上述两条性质,则fx既是奇函数,又是偶函数。
注意:○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;○2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○2确定f-x与fx的关系;○3作出相应结论:若f-xfx或f-x-fx0,则fx是偶函数;若f-x-fx或f-x+fx0,则fx是奇函数。(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;②设fx,gx的定义域分别是D1D2,那么在它们的公共定义域上:奇奇奇,奇奇偶,偶偶偶,偶偶偶2.单调性(1)定义:一般地,设函数yfx的定义域为I,如果对于定义域I内的某个
f区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有fx1fx2(fx1fx2),那么就说fx在区间D上是增函数(减函数);
注意:○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有fx1fx2(2)如果函数yfx在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数yfx在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做yfx的单调区间。(3)设复合函数yfgx,其中ugxA是yfgx定义域的某个区间,B是映射gx→ugx的象集:①若ugx在A上是增(或减)函数,yfu在B上也是增(或减)函数,则函数yfgx在A上是增函数;②若ugx在A上是增(或减)函数,而yfu在B上是减(或增)函数,则函数yfgx在A上是减函数。(4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx在给定的区间D上的单调性的一般步骤:○1任取x1,x2∈D,且x1x2;○2作差fx1-fx2;○3变形(通常是因式分解和配方);○4定号(即判断差fx1-fx2的正负);○5下结论(即指出函数fx在给定的区间D上的单调性)。(5)简单性质①奇函数在其对称区间上的单调r
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