2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案年北京大学保送生考试数学试题及参考答案
1．已知数列a
为正项等比数列，且a3a4a1a25，求a5a6的最小值．解：设数列a
的公比为qq0，则a1qa1qaa1q5，
23
3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC的三边满足abc，
∴a1
5qq1q
23

5．由a10知q1．q1q21
55q4q4q12q1q1q21
acsi
B．acsi
BAEMN解：如图所示，设正方形MNPQ的边长为x，Q，ADBCcsi
Bxxacsi
Babc∴，∴x．csi
Baacsi
B2Rabc
证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为
A
M
E
N
∴a5a6a1q4a1q5a1q4q5
CDPQQ2Rbac2Rabcba2Rc0，2Rcab2Rabcca2Rb0，
abcabc．2Rbac2Rcab
B
115q2125q2122≥20，q1q1
当且仅当q21
∴这个三角形的内接正方形边长的最小值为
acsi
B．acsi
B
，记AB中点为X，4．从O点发出两条射线l1l2，已知直线l交l1l2于AB两点，且SOABc（c为定值）求证：X的轨迹为双曲线．解：以l1l2的角平分线所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系．设∠AOx∠BOxα，OAaOBb，Xxy，则SOAB
1即q2时，a5a6有最小值20．q1
2
yAXOB
ll1
2．已知fx为二次函数，且afaf
2
fafffa成正项等比数列，求证：faa．fafffa的公比为qq0，
23
证法一：设fxmx
xtm≠0，数列afaf则faaqf
22
fafaqaqfffafaqaq
maq
aqtaq②
2222
，
23
12cabsi
2αc，ab．2si
2α
∴ma
ataq①
maq
aqtaq③
QAacosαasi
αBbcosαbsi
α，
x
l2
①②得∴ma21q2
a1qaq1q，②③得∴ma2q21q2
aq1qaq21q．若q1，则faa；若q≠1，则ma1q
aaq与maq1q
aaq矛盾．∴faa．
22




abacosαbcosαx1xx2y22ccosα2222∴∴12得2ab，2cosαsi
αsi
2αyasi
αbsi
αyab2si
α22
∴X的轨迹为双曲线．
5．已知aii12Lr