2013年北京大学保送生考试数学试题详解
【第1题】线段BM的中垂线交边AB于P，线段CM的中垂线交边AC于Q，ABC内点M满足CMB100，已知：P、M、Q三点共线，求CAB解：如图
PBMQCMPMBQMC180BMC80
MBCMCB180BMC80
于是ABCACBPBMQCMMBCMCB160BAC20
【第2题】正数abc满足abc，求证：解：
a1a11a111bc1
a1a


b1b
b

c1c

cb1bc1c
bcbc1
bc1
bc1
因此原不等式得证【第3题】是否存在两两不同的实数abc，使直角坐标系中的三条直线yaxbybxcycxa共点解：原问题即方程组axbbxccxa有解abcx，其中abc两两不同
axbbxccxaxcbab
2

acbc
整理
cbab

acbc
，得abcabbcca，与abc两两不同矛盾
22
于是不存在符合题意的实数对abc
【第4题】对129的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集，问奇子集的个数解：设M13579N2468，则奇子集由M中的1个、3个或5个元素以及N中的任意个元
1354素组成因此奇子集共有C5C5C52256个
【第5题】
f在一个20132013的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积
解：下面证明对
的数表，
3
N
是奇数，命题均成立
当
2k1时，不妨设数表如图
a
……
2
ab2
……
2
b
…
ac
2
…
abcd222
2
…
…
bd
2
2
2
2
…
c
……
abcd222
22
…
cd2
……
…
d
于是2


ac
2
2

bd
2
2
2
2
2
a
bcd
2

2
acbd
222
2
a
2
c
2
b
2
d
2


abcd
2
ac
2
222
2
b
2
d
2

2abcdbcad
2
adbc
因此命题成立
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