心率为e，由题设有
2FBFAFC
①
分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，则由双曲线第二定义有FBeBB1，FAeAA1，FCeCC1，代入①式，得2eBB1eAA1eCC1，
即2BB1AA1CC1于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有
2BB2AA2CC2，
此即2×6y1y3，可见y1y312（2）证明：AC的中垂线方程为
y－y1y3－x1x3（x－x1x3），即y－6－x1x3xx12x32
②
2
y1y3
2
y1y32y1y3
由于A、C均在双曲线上，所以有
y12
－
x12
1，
y
23
－x32
1
1213
1213
相减得x12x32y12y32于是有
13
12
x12y1

x32y3
13
12
（y1y3）
1312
1213，
f故②变为y－x1x3x25，易知此直线过定点D（0，25）
y1y32
2
评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题
●闯关训练夯实基础
1（2004年天津，4）设P是双曲线x2－y21上一点，双曲线的一条渐近线方程为a29
3x－2y0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点若PF13，则PF2等于
A1或5
B6
C7
D9
解析：由渐近线方程
y
32
x，且
a2，∴b3据定义有PF2－PF14，∴PF27
答案：C
2（2005年春季北京，5）“ab0”是“曲线ax2by21为双曲线”的
A充分不必要条件
B必要不充分条件
C充分必要条件
D既不充分又不必要条件
解析：由ab0，得a0，b0或a0，b0
由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然
答案：C
3（2003
年上海）给出问题：F1、F2
是双曲线
x216
－
y220
1
的焦点，点
P
在双曲线上
若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离某学生的解答如下：双曲线的实轴
长为8，由PF1－PF28，即9－PF28，得PF21或17
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正
确结果填在下面横线上______________________________________________解析：易知P与F1在y轴的同侧，PF2－PF12a，∴PF217答案：PF2174过点A（0，2）可以作____________条直线与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共4
点解析：数形结合，两切线、两交线答案：45已知双曲线的方程是16x2－9y2144（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且PF1PF232，求∠F1PF2
的大小
解：（1）由16x2－9y2144得x2－y21，916
∴a3，b4，c5焦点坐标
F1（－5，0），F2（5，0），离心率
e
53
，渐近线方程为
y
±4xr