题意，得
b4，a3
32－2321，解得a29，b24
a2
b2
4
所以双曲线的方程为x2－y21944
（2）设双曲线方程为x2－y21由题意易求c25a2b2
又双曲线过点（3
2
，2），∴322a2
－4b2
1
又∵a2b2（25）2，∴a212，b28
故所求双曲线的方程为x2－y21128
解法二：（1）设所求双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），916
将点（－3，23）代入得λ＝1，所以双曲线方程为x2－y2＝1
4
9164
（2）设双曲线方程为x2－y2＝1，16k4k
将点（32，2）代入得k4，所以双曲线方程为x2－y2＝1128
评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及
准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax±by0，可设双
曲线方程为a2x2－b2y2λ（λ≠0）
【例2】（2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，
到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围
剖析：由PM－PN2m，得PM－PN2m知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、
y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值
范围
解：设点P的坐标为（x，y），依题意得y2，即y±2x（x≠0）
①
x
因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得PM－PNMN2
∵PM－PN2m0，
∴0m1因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2m的双曲线上
故
x2m2
－y21m2
1
②
将①代入②，并解得x2m21m2，15m2
f∵1－m20，∴1－5m20解得0m5，5
即m的取值范围为（－5，0）∪（0，5）
5
5
评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问
题、解决问题的能力解决此题的关键是用好双曲线的定义
【例3】
如下图，在双曲线
y212
－x213
1
的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，
y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列
（1）求y1y3的值；（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标剖析：可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y1y3的值为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′由双曲线的对称性，易知A′与C′也在双曲线上，且A′、B、C′满足题设条件，所以A′C′的中垂线也应过此定点由两条中垂线关于y轴对称所以定点应在y轴上
（1）解：c12135，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离r