《线性代数与空间解析几何》小结
《线性代数》部分小结
A可逆RA
A的列（行）向量线性无关A的特征值全不为0Ax0只有零解x0，Ax0A0
RAx总有唯一解ATA是正定矩阵AIApppp是初等阵12si存在
阶矩阵B使得ABI或ABI
注：全体
维实向量构成的集合R叫做
维向量空间○

A不可逆RA
A0A的列（行）向量线性相关0是A的特征值Ax0有非零解其基础解系即为A关于0的特征向量
RaIbA
注aIbA0aIbAx0有非零解○ab
1
f向量组等价矩阵等价具有反身性、对称性、传递性矩阵相似矩阵合同
√关于e1e2e
：①称为

的标准正交基；
②e1e2e
线性无关；③e1e2e
1；④trI
；⑤任意一个
维向量都可以用e1e2e
线性表示
a11
行列式的定义D

a12a22a
2
a1
a2
a
a11a11A11a12A12
1a1
A1
2
a21a
1
行列式的性质：①按行展开，零行为零，②等行为零，③拆项分和，④初等变换（提取因子，换行变号，倍加不变），比例为零，⑤转置相等√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
2
f②若A与B都是方阵（不必同阶）则
AOAAOABOBOBBOABOABO1
m

（拉普拉斯展开式）
ABAB分别是m阶
阶方阵
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积

④关于副对角线：
a1
a2
1O
Oa2
1a
1
a1
1O

12
a1
a2

a
1（即：所有取自不同行不同列的
个元素的乘积的代数和）
a
1
1x1
⑤范德蒙德行列式：x
21
1x2x
22
1x
2x

1ji

xx
ij
x1
1

1x2

1x

a11a21矩阵的定义由m
个数排成的m行
列的表Aam1
a12a22am2
a1
a2
称为m
矩阵记作：Aaij或Am
m
am

伴随矩阵AAij


T
A11A12A1

A21A22A2

A
1A
2，Aij为A中各个元素的代数余子式A

√逆矩阵的求法
3
fA①AA
1
ab1db注：○adr