MN

y5x1
又y1x112，（1）y2x212，（2）
12得：y1y2x112x212x1x2x1x22，
kAB

y1y2x1x2
x1x22
2
f于是y52x2，即y2x27x1
弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为y2x27（在已知抛物线
内）2求曲线方程
例3已知ABC的三个顶点都在抛物线y232x上，其中A28，且ABC的重心G是
抛物线的焦点，求直线BC的方程
解由已知抛物线方程得G80设BC的中点为Mx0y0，则A、G、M三点共线，且
AG
2GM
，G分AM
22x0
所成比为
2
，于是

1282y0
8，
0
12
解得
x0

y0
114
，M
114

设Bx1y1Cx2y2，则y1y28
又y1232x1，（1）y2232x2，（2）
12得：y12
y22
32x1x2，kBC

y1x1
y2x2

32y1y2

328
4
BC所在直线方程为y44x11，即4xy400
例4
已知椭圆x2a2

y2b2
1ab0的一条准线方程是x1，有一条倾斜角为
4
的直
线交椭圆于
A、B
两点，若
AB
的中点为
C


12

14

，求椭圆方程
解
设Ax1y1、Bx2y2，则x1x2
1y1y2

1，且x12
2
a2

y12b2
1，（1）xa222

y22b2
1，
（2）
12得：
x12x22a2

y12y22b2
，
y1x1
y2x2
b2x1x2a2y1y2
b2
a2
1，1
2
3
f1kAB

y1y2x1x2

2b2a2
，a2
2b2，（3）
又a21，a2c，（4）c
而a2b2c2，（5）由（3），（4），（5）可得a21b21，
24所求椭圆方程为x2y21
11243求直线的斜率
例5
已知椭圆x225
y29

1
上不同的三点
A
x1
y1

B

4
95


C

x2

y2

与焦点
F
40
的
距离成等差数列（1）求证：x1x28；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，
求直线BT的斜率k（1）证略
（2）解
x1x28，设线段AC的中点为D4y0
又A、C在椭圆上，x12y121，（1）x22y221，（2）
259
259
12得：x12x22y12y22，
25
9
y1y2x1x2
9x1x225y1y2
98252y0
3625y0

直线DT的斜率kDT

25y036
，直线DT的方程为y
y0

25y036
x4
令
y

0，得
x

6425
，即T

6425

0

，直线
BT
的斜率k

905464

54

25
4确定参数的范围
例6若抛物线Cy2x上存在不同的两点关于直线lymx3对称，求实数m的取
值范围
4
f解当m0时，显然满足
当m0时，设抛物线C上关于直线lymx3对称的两点分别为
Px1y1、Qx2y2，且PQ的中点为Mx0y0，则y12x1，（1）y22x2，（2）
12得：y12
y22

x1x2，kPQ

y1y2x1x2

y1
1y2

12y0
，
又kPQ


1m
，
y0

m2

中点M
x0
y0
在直线l

y

mx
r