2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD，∠B∠D180o，P是平面上的动点，令
fPPABCPDCAPCAB．
（Ⅰ）求证：当fP达到最小值时，PABC四点共圆；（Ⅱ）设E是ABC外接圆O的AB上一点，满足：
BCAE3，31，AB2EC
∠ECB
1∠ECA，又DADC是O的切线，AC2，求fP的最小值．2
解法一（Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P，有
PABCPCAB≥PBAC．
因此fPPABCPCABPDCA
≥PBCAPDCAPBPDCA．
因为上面不等式当且仅当PABC顺次共圆时取等号，因此当且仅当P在ABC的外接圆且在AC上时，
fPPBPDCA．
…10分
答一图1
又因PBPD≥BD，此不等式当且仅当BPD共线且P在BD上时取等号．因此当且仅当P为ABC的外接圆与BD的交点时，fP取最小值fPmi
ACBD．故当fP达最小值时，PABC四点共圆．（Ⅱ）记∠ECBα，则∠ECA2α，由正弦定理有…20分
AEsi
2α3，从而ABsi
3α2
3si
3α2si
2α，即33si
α4si
3α4si
αcosα，所以
33431cos2α4cosα0，
整理得43cos2α4cosα30，解得cosα…30分
31（舍去）或cosα，223
故α30o，∠ACE60o．
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准第1页（共6页）
f由已知
si
∠EAC30BC31si
∠EACEC

0
有si
∠EAC30
o
31si
∠EAC，即
31231si
∠EACcos∠EAC31si
∠EAC，整理得si
∠EACcos∠EAC，2222
故ta
∠EAC
1o23，可得∠EAC75，23
…40分
从而∠E45o，∠DAC∠DCA∠E45o，ADC为等腰直角三角形．因AC2，则
CD1．
又ABC也是等腰直角三角形，故BC2，BD212212cos135o5，
BD5．
故fPmi
BDAC5210．解法二（Ⅰ）如答一图2，连接BD交ABC的外…50分
接圆O于P0点（因为D在O外，故P0在BD上）．过ACD分别作P0AP0CP0D的垂线，两两相交得A1B1C1，易知P0在ACD内，从而在A1B1C1内，记
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