2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．已知集合Axlog2x11，Bxxa2，若AB，则实数a的
取值范围为
。
【答案】1，5
【解答】由log2x11，得0x12，1x3，A1，3。由xa2，得2xa2，a2xa2，Ba2，a2。
若AB，则a21或a23，a1或a5。
∴AB时，a的取值范围为1，5。
2．已知fx是定义在R上的奇函数，且函数yfx1为偶函数，当1x0时，
fxx3，则f9
。
2
【答案】18
【解答】由函数yfx1为偶函数，知fx1fx1。又fx为奇函数，∴fx2fxfx，fx4fx2fx。
∴f9f1f1131。
22
2
28
3．已知a
为等比数列，且a1a20171，若
f

x

1
2x2
，则
fa1fa2fa3fa2017
。
【答案】2017
【解答】由
f
x
21x2
知，
f
x
f
1x
2
1x2
2
112
2
1x2

2x2x21

2。
x
∵a
为等比数列，且a1a20171，
∴a1a2017a2a2016a3a2015a2017a11。∴fa1fa2017fa2fa2016fa3fa2015fa2017fa12。
∴2fa1fa2fa3fa2017fa1fa2017fa2fa2016fa3fa2015fa2017fa1
1
f22017。
∴fa1fa2fa3fa20172017。
4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好
分到2个名额的概率为
。
【答案】27
【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同分配方案有C7335种。（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。）
其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有C5210种。（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。）
所以，所求的概率为102。357
5．三棱锥PABC中，△ABC是边长为23的等边三角形，PBPC5，且二面角
PBCA的大小为45，则三棱锥PABC的外接球的表面积为
。
【答案】25
【解答】如图，取BC中点D，连AD，PD。
由△ABC是边长为23的等边三角形，PBPC5知，
ADBC，PDBC，PD2。
P
∴PDA为二面角PBCA的平面角，
PDA45，BC面PAD，面PAD面ABC。
作PO1AD于O1，则PO1面ABC。
∴PO1O1D1，O1A2，O1为△ABC的外心，三A棱锥PAr