2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一年级)
说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;第9小题4分一档,第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分.一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)
1.设集合Exsi
x2.已知函数fx
π4π1x∈,则E的真子集的个数为15233
5.
.
6xb9的最大值为,则实数b24x4
3.若lg1,则使函数fxsi
xcosx为奇函数的的个数为3.4.在△ABC中,已知∠B的平分线交AC于K.若BC2,CK1,BK
32,则2
△ABC的面积为
15716
.
5.数列a
满足:a11a23,且a
2a
1a
∈N.记a
的前
项
和为S
,则S100
89
.
6.已知OAa,OBb,过O作直线AB的垂线,垂足为P.若a3b
3,
∠AOB
π
6
,OPxayb,则xy
2
.
7.已知实数xyz满足xyz32,xyz4,则xyz的最小值为.8.将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上,且任意三个相邻的数之和不小于58.所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为26.12
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)
9.已知二次函数fxax2bxc的图象经过点20,且不等式
1
f2x≤fx≤
12x2对一切实数x都成立.2
(1)求函数fx的解析式;(2)若对一切x∈11,不等式fxtf恒成立,求实数t的取值范围.解(1)由题设知,4a2bc0.令2x①
x2
121x2,解得x2,由题意可得2×2≤f2≤×222,即22
②……………………4分
4≤f2≤4,所以f24,即4a2bc4.
由①、②可得c24ab1.
又fx≥2x恒成立,即ax2b2xc≥0恒成立,所以a0,且
b224ac≤0,即1224a24a≤0,所以a
因此函数fx的解析式为
1,从而c24a1.4
fx
12xx1.4
……………………8分
2
x11xx(2)由fxtf得xt2xt11,24422
整理得x2tx当2t
2t82t8即t2时,2tx,此不等式对一切x∈11r