2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答
一、填空题（第15小题每题8分，第610小题每题10分，共90分）1、对于任意实数ab，定义abaabb已知a25285，则实数a的值是。
132
【答案】4，
2、在三角形ABC中，ABb21BCa2CA2a，其中ab是大于1的整数，则ba。【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。
【答案】5094并且所有4、已知关于x的方程x42x33kx22kx2k0有实根，实根的乘积为2，则所有实根的平方和为【答案】55、如图，直角三角形ABC中AC1，BC2，P为斜
EP
。
B
边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为【答案】
255
。
CF
第第第第
A
6、设a，b是方程x268x10的两个根，c，d是方程
x286x10的两个根，则acbcadbd的
值
。【答案】2772
f7在平面直角坐标系中有两点P11Q22，函数ykx1的图像与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是【答案】k
1332
。
8方程xyz2009的所有整数解有【答案】72
组。
9如图，四边形ABCD中ABBCCD，∠ABC78°，∠BCD162°。设ADBC延长线交于E，则∠AEB【答案】21°
D
A
。
C
D
M
BC
第第第第
E
A第第第第
B
10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC∠BCD90°，ABBC10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是。
【答案】3001503二、（本题15分）如图，ΔABC中∠ACB90°，点D在CA上，使得CD1AD3，并且∠BDC3∠BAC，B求BC的长。解：设BCx，则BDx21，
ABx16，如图，作∠ABD平分
2
C
AD第第第第第E
f线BE，则BDE
ADB因此BD2DEDA3DE。
由角平分线定理可知因此x21
DEBDDEBD3BDDE。AEABAEDEABBDABBD
9x21x216x21
，解得BCx
41111
三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd，abcdabcd2其中数字c可以是0。则故解：xabycd，100xyxy2，x22y100xy2y0有设整数解，由于10x100，故y≠0。因此
x2y10024y2y4250099y是完全平方数，
可设t2250099y，故99y50t50t，0≤50t50t之和为100，而且其中有11的倍数，只能有50t1或50t45，相应得到y125，代入解得
x98x20x30o因此abcd980120253025。y1y25y25
四、（本题15分）正整数
满足以下条件：任意
个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个r