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圆C:221(ab0)的焦距为4,其短轴的两个端ab
点与长轴的一个端点构成正三角形.
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f(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);②当
TF最小时,求点T的坐标PQ
【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想
c2a26【解析】(1)依条件a3b,2b2a2b2c24
x2y2162(2)设T3m,Px1y1,Qx2y2,又设PQ中点为Nx0y0,①因为F20,所以直线PQ的方程为:xmy2,xmy22m23y24my20,xy212616m28m2324m2104m所以y1y22,m32y1y22m3y1y22m2m26222于是y0,x0my022,2m3m3m362mm2.因为kOTkON,所以N2m3m33所以O,N,T三点共线,
所以椭圆C的标准方程为即OT平分线段PQ(其中O为坐标原点).②TF所以
m21,PQy1y2m21
m21
2
24m21m21,2m3
,令m21x(x1),
24m124m1m212m32TFx21232则(当且仅当x2时取“”),xPQ26x26x3
2
TFPQ

m23
所以当
TF2最小时,x2即m1或1,此时点T的坐标为31或31PQ
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fx2y24(2014四川高考文科T20)已知椭圆C:221(ab0)的左焦点为F20,离心率ab

6.3
(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想【解析】(1)依条件
a26c6,且c22,a3b2
x2y21所以椭圆C的标准方程为62
(2)设T点的坐标为(3,m),则直线TF的斜率kTF当m0时,直线PQ的斜率kPQ
m0m32
1,r
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