圆C：221（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端ab
点与长轴的一个端点构成正三角形．
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f（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当
TF最小时，求点T的坐标PQ
【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想
c2a26【解析】（1）依条件a3b，2b2a2b2c24
x2y2162（2）设T3m，Px1y1，Qx2y2，又设PQ中点为Nx0y0，①因为F20，所以直线PQ的方程为：xmy2，xmy22m23y24my20，xy212616m28m2324m2104m所以y1y22，m32y1y22m3y1y22m2m26222于是y0，x0my022，2m3m3m362mm2．因为kOTkON，所以N2m3m33所以O，N，T三点共线，
所以椭圆C的标准方程为即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．②TF所以
m21，PQy1y2m21
m21
2
24m21m21，2m3
，令m21x（x1），
24m124m1m212m32TFx21232则（当且仅当x2时取“”），xPQ26x26x3
2
TFPQ

m23
所以当
TF2最小时，x2即m1或1，此时点T的坐标为31或31PQ
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fx2y24（2014四川高考文科Ｔ20）已知椭圆C：221（ab0）的左焦点为F20，离心率ab
为
6．3
（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线x3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q．当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想【解析】（1）依条件
a26c6，且c22，a3b2
x2y21所以椭圆C的标准方程为62
（2）设T点的坐标为（3，m），则直线TF的斜率kTF当m0时，直线PQ的斜率kPQ
m0m32
1，r