一．选择题本题满分30分，每小题5分：1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数zcosB－si
Aisi
B－cosA在复平面内所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限12．函数fxarcta
xarcsi
x的值域是2
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D．第四象限
A．－π，π
B．－π，π
34
34
C．－π，π
34
34
D．－π，π
12
12
三．填空题本题满分30分，每小题5分1．若loga21，则a的取值范围是．2．已知直线l：2xy10，过点－10，0作直线l⊥l，则l与l的交点坐标为．3．设函数f0xx，f1xf0x－1，f2xf1x－2，则函数yf2x的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是4．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为．5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足a2－a1≥3，与a3－a2≥3，那么，所有符合上述要求的不同取法有种．6．当s和t取遍所有实数时，则22s5－3costs－2si
t所能达到的最小值为．
f三．本题满分20分已知a1，a2，…，a
是
个正数，满足a1a2…a
1．
求证：2a12a2…2a
≥3．
四．本题满分20分已知正三棱锥SABC的高SO3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC
S
AP作垂线，垂足为O，在AO上取一点P，使8，求经过点P且平行于底面的PO
截面的面积．
A
五．本题满分20分已知：对任意的
∈N，有a
0，且ΣajΣaj．求证：a
．j1j1
O
C


3


B
2
三．本题满分35分有
（
≥4的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入1与1这两个数中的一个，现将表内
个两两既不同行横又不同列竖的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除（即
f总能表示成4k的形式，其中k∈Z）．
f1989年全国高中数学联赛解答
第一试一．选择题本题满分30分，每小题5分：1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数zcosB－si
Aisi
B－cosA在复平面内所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】0°A、B90°AB180°．故90°A90°－B0°，si
AcosB，cosAsi
B．故cosB－si
A0，si
B－cosA0．点Z位于第二象限．选B
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3．对任意的函数yfx，在同一个直角坐标系中，函数yfx－l与函数yf－xl的图象恒A．关于x轴对称B．关于直线xl对称C．关于直线x－l对称D．关于y轴对称【答案】B【解析】令x－1t，则得ftf－tr