公因子，若d和d都是a和b的最大公因子，那么必有dd。5、α叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0a1La
使得
a0a1αLa
α
0。
f五、（2011年近世代数）计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换
π11234π21243π32134π42143
组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及π11π21π31π41和G的
1234
1234
1234
1234
所有子群。2、设Z6012345是模6的剩余类环，且fxgx∈Z6x。如果fx3x35x2、gx4x25x3，计算fxgx、fxgx和
fxgx以及它们的次数。
3、群Gaa7，求出群G的所有子群。六、（2011年近世代数）证明题（每小题10分，共40分）1、设a和b是一个群G的两个元且abba，又设a的阶am，b的阶b
，并且m
1，证明：ab的阶abm
。
2、设R为实数集，ab∈Ra≠0，令fabR→Rxaaxbx∈R，将R的
所有这样的变换构成一个集合Gfabab∈Ra≠0，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。
3、I1和I2为环R的两个理想，设试证I1II2和I1I2aba∈I1b∈I2都是R
的理想。4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。5、整数环Z中，证明（3，7）16、证明：域是欧式环。7、证明群同态定理第一条。8、Rx条件下，做映射：f：gxg0求证：在f映射下Rx与R同构并求其核。
多所高校近世代数题库答案
f一、（近世代数）判断题二、（近世代数）单项选择题三、（近世代数）填空题
1×1②
2×2④
3√3③
4√4④
5×5①
6√6②
7√7④
8√8③
9×9①
10×10④
1、111011212021。5、变换群。6、13524。
2、a。
3、φ。
4、m
。
7、∑xiayixiyi∈R。8、一个最大理想。
9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、E的每一个元都是F上的一个代数元。四、（近世代数）改错题1、如果一个集合A的代数运算o同时适合消去律和分配律，那么在a1oa2oLoa
里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立（考r