浙江大学2005数学分析
1．计算定积分：解：
∫
π
0
si
2xdx
1cos2xπ12ππdx∫cosxdx22402
1
31i，求lim∑4l
1f
→∞2
i1
∫
π
0
si
2xdx∫
π
0
2．假设fx在01Riema
可积，
∫
0
fxdx
解：利用可积的定义和Taylor展开作
l
1xx

x2ox22
if2

1i1i12i∑4l
1
f
4∑
f
2∑
2f
4∑o
2
i1i1i1i1
∑
f
∫
i1


1
i
1
0
fxdx
32

maxfx12i1f≤2lim∑2maxfx2lim0≤x≤102
→∞
→∞
→∞0≤x≤1
i1
i1
if2
1i同理，m4∑o2
0lim∑4l
1f23li
→∞
→∞

i1i1
lim2∑


3．设abc是实数，b1c≠0试确定abc，使得lim
x→0
axsi
xcl
1t3∫btdt
x
解：不断利用L’Hospital法则
limaxsi
x0c≠0lim∫
x→0
x
x→0b
l
1t3dt0t
不难得到b0axsi
xaxxcosxacosxxsi
xacosxclimlimlimlim323x→0xl
1tx→0l
1xx→0x→03x3x2dt∫bt1x3a1xa12si
1cosx12b0limlim22x→0x→03x3x61c6
2
f4．fx在ab上连续，对于x∈aby∈abfy≤
1fx，求证：2
ξ∈abfξ0
证明：利用实数系的几个定理就可以了
不妨设x0∈ab1fx00则命题得证2fx0≠0则根据题意，可以得到一个序列x
limfx
0
→∞
然后x
有界，所以不难得到x
存在一个收敛的子列y
ylimy

→∞
由于fx在ab连续，fylimfxlimfy
0
x→y
→∞
5．1设fx在a∞上连续，且
→∞
→∞
∫
∞
a
fxdx收敛，证明：存在数列x
a∞，使得
满足，limx
∞limfx
02设fx在a∞上连续，fx≥0且
∫
∞
a
fxdx收敛，问：是否必有limfx
0，为
→∞
什么？证明：（1）此题也可以用反证法来解决，也非常简单。
由于∫
∞
a
fxdx收敛，所以x
x
a
x0a
x
1
→∞x

不难得到lim∫
fxdx0
∫
x
1
x

fxdxfξ
ξ
∈x
x
1，就是要求的数列
（2）不是，构造一个锯齿形的函数
11
12
1x
x∈a∞∩
fx2
22
2，
∈N0其他情况∞∞3fxdx∫fxdx从而收敛。而f
1，矛盾∫a∞2
5．设fx在0∞具有二阶连续导数，且已知M0supfx和M2supf