D0ra
2
02
9分
2、解：作球面坐标变换：xrcossi
yrsi
si
zrcos，
则Jrr2si
且
VV0ra002
4分
x2y2z2dxdydz
V
r2r2drdd6分V
2
a
dsi
dr4dr8分
0
0
r2
4a59分5
3、解：S：ZR2x2y2，（x，y）D：x2y2R2
可编辑修改
f。
dS1zx2zy2dxdy

R
dxdy5分
R2x2y2
IzdS
R
R2x2y2dxdy8分
S
DR2x2y2
dxdyR39分
D
4、解：用高斯公式，得
I

V
3dxdydz
6
分
3
1
dx
2
dy
3dz8分
0
0
0
189分
解5、设D0y1x0x1，则所围成的四面体的体积
V1xydxdy4分D

1
dx
1x1xydy6分
0
0
19分6
四、证明题每小题7分，共14分
1、证明：Pexyxyexy，Qx2exyPQ2xexyx2yexy，，（x，y）R2yx
曲线积分与路线无关。4分
可编辑修改
f。
取x0y00，则
x
y
（ux，y，z）P（x，0）dxQ（x，y）dy
0
0
x
y
dxx2exydy7分
0
0
xexy9分
2、证明：由最值定理，函数（fx，y）在有界闭区域D上存在最大值M和最小
值m，且（x，y）D，有
m（fx，y）M，
上式各端在D上积分，得
mSD（fx，y）dMSD，
D
（fx，y）d
或mD
SD
M，
其中SD为D的面积。根据介质性定理，存在（，）D，使得
（fx，y）d
（f，）D
SD
，即f（x，y）d（f，）SDD
可编辑修改
f。
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可编辑修改
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