m＋4，y1y2＝－3m29＋4
所以S△F2AB＝12F1F2y1－y2＝y1－y2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝12
m2＋1（3m2＋4）2＝
4
m2＋1
m2＋1＋132＝4
（m2＋1）＋231＋9（m21＋1），
令t＝m2＋1≥1，设ft＝t＋91t，当t∈1，＋∞时，函数ft单调递增，
所以当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，ft取得最小值，ftmi
＝190，此时S△F2AB取得最大值3
范围问题多维探究
f角度一求代数式的取值范围
2019合肥模拟已知椭圆C：ax22＋by22＝1a＞b＞0的离心率为22，且以原点为圆心，
椭圆的焦距为直径的圆与直线xsi
θ＋ycosθ－1＝0相切θ为常数．
1求椭圆C的标准方程；
2若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求F→1MF→1N的取值范围．
【解】
1由题意，得
e＝ac＝22，
c＝1，
1
＝c，
si
2θ＋cos2θ
a2＝b2＋c2
a2＝2，b2＝1，
故椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1
2由1得F1－1，0，F21，0．
①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M1，22，
N1，－22，所以F→1M＝2，22，F→1N＝2，－22，故F→1MF→1N＝72
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－1，
y＝k（x－1），
由x22＋y2＝1
消去y得，1＋2k2x2－4k2x＋2k2－2＝0，
设Mx1，y1，Nx2，y2，则x1＋x2＝1＋4k22k2，x1x2＝21k＋2－2k22
F→1M＝x1＋1，y1，F→1N＝x2＋1，y2，则F→1MF→1N＝x1＋1x2＋1＋y1y2＝x1＋1x2＋1＋kx1－1kx2－1＝1＋k2x1x2＋1－k2x1
＋x2＋1＋k2，9
代入可得F→1MF→1N＝2（2kk24＋－11）＋42kk2－2＋41k4＋1＋k2＝72kk22－＋11＝72－2k22＋1，
由k2≥0可得F→1MF→1N∈－1，72
f综上，F→1MF→1N∈－1，72
角度二求参数的取值范围
2019长春质量检测一已知椭圆C的两个焦点为F1－1，0，F21，0，且经过点
E3，23
1求椭圆C的方程；2过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点点A位于x轴上方，若A→F1＝λF→1B，且2≤λ＜3，求直线l的斜率k的取值范围．
【解】
2a＝EF1＋EF2＝4，
a＝2，
1由a2＝b2＋c2，
解得c＝1，
c＝1，
b＝3，
所以椭圆C的方程为x42＋y32＝1
2由题意得直线l的方程为y＝kx＋1k＞0，
联立方程，得yx4＝2＋ky（32＝x＋1，1），整理得k32＋4y2－6ky－9＝0，Δ＝1k424＋144＞0，
设Ax1，y1，Bx2，y2，则y1＋y2＝3＋6k4k2，y1y2＝3－＋94kk22，
又A→F1＝λF→1B，所以
y1＝－λy2，所以
－λy1y2＝（1－λ）2y1＋y22，
则（1－λλ）2＝3＋44k2，r