2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解
2017年5月7日8001000一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）
1已知向量AP13PB31，则向量AP与AB的夹角等于
．
解一：由题设APPB13310，且APPB，故APB为等腰直角三角
形，从而向量
AP
与
AB
的夹角等于
4

解二：因为ABAPPB1331，所以cosABAP2，所以向量AP2
与
AB
的夹角等于
4

2已知集合Axax1ax0，且aA3A，则实数a的取值范围是
．
解：有题设，知
2a3a
1a1a

23

00
所以：
a
1
2或aa3
12
3
所以
13

a

12
或
2

a

3
3已知复数zcosisi
2，其中i是虚数单位，则z3z2
．
3
3
解：有题设z3

z2

cos
63
isi

63
cos
43
isi

43

12

32
i
4在平面直角坐标系
xOy
中，设F1F2
分别是双曲线
x2a2

y2b2
1a
0b

0的左，右焦点，
P是双曲线右支上一点，M是PF2的中点，且OMPF23PF14PF2，则双曲线的离心率
为
．
答案：5．
5定义区间x1x2的长度为x2x1．若函数ylog2x的定义域为ab，值域为02，则
区间ab的长度的最大值与最小值的差为
．
f答案：3
6若关于x的二次方程mx22m1xm20m0的两个互异的根都小于1，则实数
m的取值范围是
．
答案：

3
4
7




7若ta
4x3，则si
4xsi
2xsi
xsi
x
．
3
cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx
答案：3
8棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1在空间坐标系Oxyz中运动，其中顶点A保持在z轴
上，顶点B1保持在平面xOy上，则OC长度的最小值是
．
f答案：62
9设数列a1a2a3a21满足：a
1a
1
12320，a1a7a21成等比数列．若
a11a219，则满足条件的不同的数列的个数为
．
答案：15099．
10对于某些正整数
，分数
2不是既约分数，则
的最小值是
．
3
27
答案：17二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11设数列a

满足：①a1
1，②a


0，③a


a

21

N

a
11
求证：（1）数列a
是递增数列；
（2）对如图任意正整数

，
a

1

k1
1k
证明：（1）因为a
1

a


a
1


a

21


a
11
a
1
a
1
1

且
a


0，
所以a
1a
0．所以a
1a
N
所以数列a
是递增数列．
f（2）因为a
1

a


a
1
a
11

a
1
a
1

1

所以当
2时，
a
a
a
1a
1a
2a2a1a1
11111

1
2
21

1
1k1k
又
a1
111
所以对任意正整数


，a

1

k1
1k
12在平面直角坐标系
xOy
中，设椭圆
E
x2a2

y2b2
1a
b0，直线lx
r