以在单位圆上自由移动。我们称M是上的纤维丛而它的纤维是单位圆。
f庞加莱猜想
高维拓扑学可以说是从庞加莱的问题开始：庞加莱猜测一个闭的三维空间，若其上的每条闭曲线都可以连续收缩到一个点，那么从拓扑上来看，这个空间是否就是球面？这个问题不仅是一个著名的难题，而且是三维拓扑理论的中心问题。
f拓扑手术
拓扑学家研究这个问题已经有一百多年历史了。主要的工具是切割与粘合，或称手术，来简化一个空间的拓扑。
f拓扑手术
在七十年代以前主要的工具有Deh
引理，提供了将自相交叉的曲面简化为无交叉曲面的工具。
f拓扑手术
定理（Deh
引理）如果存在从圆盘到三维空间的一个映射，且不在圆盘边界上自相交叉，那么存在另一个到三维空间的没有自交叉的映射，且限制在边界上与原来的映射相等。Deh
引理的一种基于极小曲面理论的版本是Meeks－丘成桐发现的，对以后的发展很有帮助。
f拓扑手术
第二个工具是Hake
引入的不可压缩曲面的构造。它被用来将三维流形切割成片。Walhause
用这一方法证明了重要的定理。不可压缩曲面是一种嵌入曲面，且具有如下性质：如果一条闭环路不能在曲面上收缩到一个点，那么它也不能在三维空间中收缩到一个点。
f特殊曲面
有几个重要的一维和二维空间在理解三维空间的过程中起了重要的作用。1圆周Seifert构造了许多三维空间，可以写成圆周的连续族。上面提到的相空间是Seifert空间的一个例子。
f特殊曲面
2二维球面我们可以通过在两个三维空间上的各挖去一个实心球，然后沿着球面粘合起来。
相反，K
eser和Mil
or证明每个三维空间可以通过球面唯一分解成不可约分支。一个空间称为是不可约的，如果每个嵌入球面都是这个空间中的一个三维球的边界。
f特殊曲面
2环面JacoShale
Joha
so
的一个定理说，我们可以通过沿环面切割作进一步分解。
f三维空间的结构
几何化猜测Thursto
：
三维空间的结构是由如下的基本空间所合成的1（庞加莱猜测）如果三维空间上每条闭环路都可以收缩到一个点，那么这个空间就是三维球面。2（空间形式问题）将三维球面上的点等同起来得到的空间。这由线性等距的一个有限群所支配，类似于晶体的对称。
f3Seifert空间及其类似于2用有限群得出的空间。4（Thursto
猜测双曲空间）边界由环面构成的三维空间，空间中每个二维球面都是某个球的边界，每个不可压缩的环面可以用适当的方法形变到边界；这种空间被猜测为带有常负曲率的空间，并且可以通过双曲球的一个离散对r