三维空间的结构
丘成桐
哈佛大学数学系
所有图形取自顾险峰，王雅琳，丘成桐的合作文章，由顾险峰提供2006年6月20日
f先生们女士们今天我将会告诉你们数学上的一页篇章是如何结束和新的篇章正在开始。请允许我先从一些基本的观察开始。
f几何结构
几何学的主要目的是描述与分类有趣的几何结构。我们在日常生活中看到许多有趣的几何结构。我举几个例子：
亏格0
亏格1
亏格2
亏格3
曲面的亏格就是环柄的数目。
f连通和
构造曲面的一个抽象和主要的方法是作曲面的连通和。连通和连通和是通过删除圆盘并且钻孔曲面通过微分同胚粘合起来，于是
f例子
通过连通和构造的亏格等于8的曲面
f曲面结构定理
定理（曲面分类定理）
任意闭的可定向的曲面是如下曲面之一：球面，环面或有限多个环面的连通和。
f共形几何
为了更深入理解曲面，庞加莱建议理解这些二维对象上的共形几何。例子在地球上我们利用经线和纬线来确定方位。它们互相垂直。当我们将方形的地图映到球面上的时候，距离产生了扭曲。比如，北极附近很小的区域在方形地图上是很大的区域。不过，经线与纬线的正交性在映照下保持不变。所以，如果一艘船在海上航行，我们可以用地图精确地指引它的航向。
f地球
f共形几何
庞加莱（Poi
care）发现，我们可以在任何曲面上绘制经线（篮色曲线）与纬线（红色曲线）。
f共形结构
f我们可以沿着曲面上某些特殊的曲线切割，然后把曲面在平面或圆盘上展开。在这个过程中，经线与纬线保持不变。
f曲面上共形结构的例子
定理（庞加莱单值化定理）任意二维封闭空间必与一常高斯曲率空间共形等价。
球面
欧氏
双曲
f曲面上的Hamilto
方程
我们可以通过曲率变动任意曲面。这种形变就是曲面的Hamilto
的Ricci流。这种形变最后得到常曲率空间。这一方法是Hamilto
发明的，可用来改变任意维空间。
f三维流形
到目前为止，我们所讨论的空间只有两个自由度。与束缚于曲面上的虫子所看到的二维空间不一样，我们所生存的空间有三个自由度。虽然我们的三维空间看起来是平坦的，但还有许多自然而不平坦的三维空间。
f三维流形
例子相空间在二十世纪初，庞加莱研究粒子动力学的相空间。相空间由，即粒子的位置与速度组成。例如，如果一个粒子在二维曲面上以单位速度自由移动，那么这个粒子就有三个自由度。这就产生了一个三维空间M。
f纤维丛如果我们对M上每个点，赋以点，我们得到一个从M到的映射。当我们固定点x，v可以取任意单位向量因此v可r