A2A3A4
2116422，338152016266故E246．9818181
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为A764cm或586cmC586cm或564cm
333
（A）B764cm
3
3
D586cm3
解设这三个正方体的棱长分别为abc，则有6a2b2c2564，a2b2c294，不妨设1abc10，从而3cabc94，c31．故6c10．c只能取9，
22222
8，7，6．若c9，则a2b2949213，易知a2，b3，得一组解abc239．
0，b4，若c8，则a2b2946430，b5．但2b3从而b4或5．若b5，
2
则a5无解，若b4，则a14无解．此时无解．
22
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第2页（共9页）
f若c7，则a2b2944945，有唯一解a3，b6．若c6，则a2b2943658，此时2bab58，b29．故b6，但
2222
bc6，故b6，此时a2583622无解．
a2a3综上，共有两组解b3或b6c7c9
体积为V1233393764cm3或V2336373586cm3．
xyz05．方程组的有理数解xyz的个数为xyzz0xyyzxzy0
A1B2C3D4
（B）
x1，xy0，x0，解若z0，则解得或xyy0y0y1
若z0，则由xyzz0得xy1．由xyz0得zxy．①②③
将②代入xyyzxzy0得x2y2xyy0．由①得x
1，代入③化简得y1y3y10y
易知y3y10无有理数根，故y1，由①得x1，由②得z0，与z0矛盾，
x0x1故该方程组共有两组有理数解y0或y1z0z0
6．设ABC的内角ABC所对的边abc成等比数列，则
si
AcotCcosA的取值范围是si
BcotCcosB
（C）
512515151CD222解设abc的公比为q，则baqcaq2，而
A0B0
si
AcotCcosAsi
AcosCcosAsi
Csi
BcotCcosBsi
BcosCcosBsi
C

si
ACsi
BC
si
Bsi
A
Bsib
q．Asia

因此，只需求q的取值范围．r