A2A3A4
2116422,338152016266故E246.9818181
4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564cm2,则这三个正方体的体积之和为A764cm或586cmC586cm或564cm
333
(A)B764cm
3
3
D586cm3
解设这三个正方体的棱长分别为abc,则有6a2b2c2564,a2b2c294,不妨设1abc10,从而3cabc94,c31.故6c10.c只能取9,
22222
8,7,6.若c9,则a2b2949213,易知a2,b3,得一组解abc239.
0,b4,若c8,则a2b2946430,b5.但2b3从而b4或5.若b5,
2
则a5无解,若b4,则a14无解.此时无解.
22
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷)第2页(共9页)
f若c7,则a2b2944945,有唯一解a3,b6.若c6,则a2b2943658,此时2bab58,b29.故b6,但
2222
bc6,故b6,此时a2583622无解.
a2a3综上,共有两组解b3或b6c7c9
体积为V1233393764cm3或V2336373586cm3.
xyz05.方程组的有理数解xyz的个数为xyzz0xyyzxzy0
A1B2C3D4
(B)
x1,xy0,x0,解若z0,则解得或xyy0y0y1
若z0,则由xyzz0得xy1.由xyz0得zxy.①②③
将②代入xyyzxzy0得x2y2xyy0.由①得x
1,代入③化简得y1y3y10y
易知y3y10无有理数根,故y1,由①得x1,由②得z0,与z0矛盾,
x0x1故该方程组共有两组有理数解y0或y1z0z0
6.设ABC的内角ABC所对的边abc成等比数列,则
si
AcotCcosA的取值范围是si
BcotCcosB
(C)
512515151CD222解设abc的公比为q,则baqcaq2,而
A0B0
si
AcotCcosAsi
AcosCcosAsi
Csi
BcotCcosBsi
BcosCcosBsi
C
si
ACsi
BC
si
Bsi
A
Bsib
q.Asia
因此,只需求q的取值范围.r